Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2016
Na rysunku obok przedstawiono ...4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Na rysunku obok przedstawiono ...

1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie
4Zadanie

a) Z wykresu odczytujemy przybliżone rozwiązanie nierówności:

`V(x)<=64\ \ "dla"\ \ x\in(0;6)` 

Przerywaną linią została zaznaczona wartość 64. W przedziale (0;6) funkcja dwa razy przyjmuje wartość 64.

Funkcja przyjmuje wartość 64 dla x=1/2 oraz x=4.

Dla x z przedziału (1/2;4) wartości funkcji są większe od 64.

Dla x z przedziału (0;1/2) oraz przedziału (4,6) wartości funkcji są mniejsze od 64.

Rozwiązaniem nierówności:

`V(x)<=64` 

są te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe 64. Są to:

`x \in (0;1/2>>\ \cup\ <<4;6)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Rozwiążmy nierówność:

`V(x)<=64` 

Z ćw. 3. mamy wielomian, który opisuje objętość pudełka w zależności od zmiennej x.

`V(x)=4x^3-48x^2+144x` 

Podstawmy wielomian do nierówności.

`4x^3-48x^2+144x<=64` 

`4x^3-48x^2+144x-64<=0` 

Podzielmy nierówność przez 4, aby uprościć obliczenia:

`x^3-12x^2+36x-16<=0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x).

`w(x)=x^3-12x^2+36x-16` 

Współczynniki są całkowite, wyraz wolny jest różny od 0, więc skorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8, -16, 16.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1-12+36-16!=0` 

`w(2)=8-48+72-16!=0` 

`w(-2)=-8-48-72-16!=0` 

`w(4)=64-192+144-16=0` 

Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejny pierwiastek, dzielimy wielomian w(x) przez (x-4).

`x^3-12x^2+36x-16=(x-4)(x^2-8x+4)` 

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=64-16=48` 

`sqrtDelta=sqrt48=4sqrt3` 

`x_1=(8-4sqrt3)/2=4-2sqrt3` 

`x_2=(8+4sqrt3)/2=4+2sqrt3` 

Wielomian w(x) możemy zapisać:

`w(x)=(x-4)(x-4+2sqrt3)(x-4-2sqrt3)` 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: 4, 4-2√3 oraz 4+2√3.

Ponieważ dziedziną funkcji V(x) jest zbiór (0;6), więc już teraz wykluczmy niepotrzebne rozwiązania.

`4\in(0;6)` 

`4-2sqrt3\in(0;6)` 

`4+2sqrt3 !in(0;6)` 

Pierwiastkami wielomianu w(x), które należą do dziedziny funkcji V(x) są: 4 oraz 4-2√3

Naszkicujmy wykres wielomianu w(x).

Pamiętając o dziedzinie (x∈(0;6)) otrzymujemy:

`w(x)<=0\ "dla"\ x\in(0;4-2sqrt3>>\ \cup\ <<4;6)` 

Stąd:

`V(x)<=64\ "dla"\ x\in(0;4-2sqrt3>>\ \cup\ <<4;6)`