Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2016
Dany jest prostopadłościan o krawędziach ...4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Dany jest prostopadłościan o krawędziach ...

1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie
4Zadanie

Obliczmy objętość prostopadłościanu o krawędziach 5 cm x 6 cm x 8 cm.

`V_p=5*6*8=240\ [cm^3]`  

Każdą krwędź zwiększono o "x" cm. Obecne wymiary prostopadłościanu to 5+x cm, 6+x cm oraz 8+x cm.

Objętość po zwiększeniu każdej krawędzi o "x" cm wzrosła o 320 cm3. Stąd objętość zwiększonego prostopadłościanu wynosi:

`V_z=V_p+320` 

`V_z=240+320=560\ [cm^3]` 

Podstawmy dane (zwiększone krawędzie) oraz objętość zwiększonego prostopadłościanu do wzoru na objętość prostopadłościanu.

`(5+x)(6+x)(8+x)=560` 

Chcemy wyznaczyć x. Doprowaźmy równanie do takiej postaci, aby po prawej stronie znajdowało się 0.

`(5+x)(6+x)(8+x)-560=0` 

`(30+11x+x^2)(8+x)-560=0` 

`240+30x+88x+11x^2+8x^2+x^3-560=0` 

`x^3+19x^2+118x-320=0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x).

`w(x)=x^3+19x^2+118x-320` 

Współczynniki są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Nie będziemy wypisywać wszystkich dzielników liczby -320, gdyż jest ich dużo. Postarajmy się znaleźć taki dzielnik, który będzie pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(2)=8+76+236-320=0`

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x). 

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, podzielmy wielomian w(x) przez (x-2).

`x^3+19x^2+118x-320=(x-2)(x^2+21x+160)` 

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=441-640<0` 

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Pierwiastkiem wielomianu w(x) jest liczba 2.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Sprawdźmy, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania.

Po zwiększeniu o 2 długości krawędzi prostopadłościanu, zwiększony prostopadłościan ma wymiary 7cm x 8 cm x 10 cm.

Obliczmy objętość tego prostopadłościanu.

`V_z=7*8*10=560\ [cm^3]` 

Sprawdźmy, czy jeżeli odejmiemy 320 cm3, to otrzymamy objętość początkowego prostopadłościanu.

`560\ cm^3-320\ cm^3=240\ cm^3` 

Rozwiązanie spełnia warunki zadania.

 

Odp: Każdą krawędź prostopadłościanu zwiększono o 2 cm.