Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2016
Rozwiąż nierówność f(x) > ...4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii

Rozwiąż nierówność f(x) > ...

4Zadanie
5Zadanie
6Zadanie
8Zadanie

`"a)"\ f(x)=x^3-4x\ \ \ \ \ g(x)=4x^3+8x^2` 

`f(x)>g(x)` 

`x^3-4x>4x^3+8x^2` 

`x^3-4x-4x^3-8x^2>0` 

`-3x^3-8x^2-4x>0` 

Wielomian w(x):

`w(x)=-3x^3-8x^2-4x` 

rozkładamy na czynniki (mozna wyłączyć -x ze składników wielomianu).

`w(x)=-x(3x^2+8x+4)` 

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=64-48=16` 

`sqrtDelta=sqrt16=4` 

`x_1=(-8-4)/6=-2` 

`x_2=(-8+4)/6=-2/3` 

`3x^2+8x+4=3(x+2)(x+2/3)`  

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=-3x(x+2)(x+2/3)` 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2, -2/3 oraz 0.

Każda z liczb jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-2)\ \cup\ (-2/3,0)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ f(x)=x^4+x^3\ \ \ \ \ g(x)=3x-x^2`   

`x^4+x^3>3x-x^2` 

`x^4+x^3+x^2-3x>0`  

Wielomian w(x):

`w(x)=x^4+x^3+x^2-3x` 

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

`w(x)=x(x^3+x^2+x-3)` 

Szukamy pierwiastków drugiego czynnika wielomianu w(x), czyli wielomianu v(x)=x3+x2+x-3

Będziemy korzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych (an≠0, a0≠0 oraz współczynniki są liczbami całkowitymi).

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

`v(1)=1^3+1^2+1-3=3-3=0` 

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomia v(x) przez (x-1).

`x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)`   

Sprawdźmy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-12<0` 

 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=x(x-1)(x^2+2x+3)` 

Pierwiastkami wielomianu w(x) sa liczby 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,0)\ \cup\ (1,+oo)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ f(x)=2x^3-4x^2+3x\ \ \ \ \ g(x)=x^2`   

`2x^3-4x^2+3x>x^2` 

`2x^3-4x^2+3x-x^2>0` 

`2x^3-5x^2+3x>0` 

Wielomian w(x):

`w(x)=2x^3-5x^2+3x` 

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

`w(x)=x(2x^2-5x+3)` 

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

 

`Delta=25-24=1` 

`sqrtDelta=1`    

`x_1=(5-1)/4=1` 

`x_2=(5+1)/4=3/2` 

`2x^2-5x+3=2(x-1)(x-3/2)` 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=2x(x-1)(x-3/2)`   

Pierwiastkami wielomianu w(x) sa liczby 0, 1 oraz 3/2.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (0,1)\ \cup\ (3/2,+oo)`