Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2016
Rozwiąż nierówność.4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Rozwiąż nierówność.

5Zadanie
6Zadanie

`"a)"\ -x^3+2x^2-x<0`

Rozkładamy wielomian w(x)=-x3+2x2-x na czynniki:

`-x(x^2-2x+1)<0` 

`-x(x-1)^2<0` 

Pierwiastki wielomianu w(x) to 0 oraz 1.

0 jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znak funkcji), 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku funkcji).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

`w(x)<0\ \ "dla"\ \ x \in (0,1)\ \cup\ \(1,+oo)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ -x^3+x^2+6x>=0`

Rozkładamy wielomian w(x)=-x3+x2+6x na czynniki:

`w(x)=-x(x^2-x-6)`   

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego:

`x^2-x-6=0` 

`Delta=1+24=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_1=(1-5)/2=-2` 

`x_2=(1+5)/2=3` 

Stąd:

`x^2-x-6=(x+2)(x-3)` 

Wielomian w(x) możemy zapisać:

`w(x)=-x(x+2)(x-3)` 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -2, 0 oraz 3.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znaku funkcji).

Współczynnik przy najwyższej potedze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne, czyli większe lub równe 0.

`w(x)>=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-2>>\ \cup\ \<<0,3>>`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ x^3-x^2-x+1<=0` 

Rozkładamy wielomian w(x)=x3-x2-x+1 na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^2(x-1)-(x-1)=(x^2-1)(x-1)` 

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

`w(x)=(x-1)(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2`    

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -1 oraz 1.

-1 jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znak wielomianu)

1 jest piewiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku)

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie, czyli mniejsze lub równe 0.

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-1>>\ \cup\ \{1}`    

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ -x^4+10x^3+11x^2>0` 

Rozkładamy wielomian w(x)=-x4+10x3+11xna czynniki:

`w(x)=-x^2(x^2-10x-11)`    

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego:

`x^2-10x-11=0` 

`Delta=100+44=144` 

`sqrtDelta=12` 

`x_1=(10-12)/2=-1` 

`x_2=(10+12)/2=11`  

Stąd:

`x^2-10x-11=(x+1)(x-11)`  

Wielomian w(x) możemy zapisać:

`w(x)=-x^2(x+1)(x-11)`   

Pierwiastki wielomianu w(x) to -1, 0 oraz 11.

Pierwiastek 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku).

Pierwiastki -1 oraz 11 są pierwiastkami jednokrotnymi (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potedze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-1,0)\ \cup\ \(0,11)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"e)"\ 2x^3+x^2-8x-4>0` 

Rozkładamy wielomian w(x)=2x3+x2-8x-4 na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^2(2x+1)-4(2x+1)=(x^2-4)(2x+1)`  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

`w(x)=(x^2-4)(2x+1)=2(x-2)(x+2)(x+1/2)`    

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -2, -1/2 oraz 2.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-2,-1/2)\ \cup\ \(2,+oo)`     

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ 3x^3-2x^2-6x+4<=0` 

Rozkładamy wielomian w(x)=3x3-2x2-6x+4 na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^2(3x-2)-2(3x-2)=(x^2-2)(3x-2)`   

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

`w(x)=(x^2-2)(3x-2)=3(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-2/3)`    

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to - √2, 2/3 oraz  √2.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-sqrt2>>\ \cup\ \<<2/3,sqrt2>>`