Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Wykaż, że dla każdej wartości parametru 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Wykaż, że dla każdej wartości parametru

14Zadanie
15Zadanie
16Zadanie
17Zadanie
1Zadanie

`"założenia:"\ \ \ w(x)=x^4+(p-2)x^3+(3-2p)x^2+(p-4)x+2` 

`"teza:"\ \ \ "dla każdej wartości parametru"\ p\ "liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu"\ w(x)` 

`"dowód:"` 

Obliczmy, ile wynosi w(1):

`w(1)=1^4+(p-2)*1^3+(3-2p)*1^2+(p-4)*1+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+(p-2)+(3-2p)+(p-4)+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+p-2+3-2p+p-4+2=0` 

Wartość w(1) wynosi 0, więc liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, a więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1. Wykonajmy dzielenie pisemne (obok strzałek zapisano, jak obliczyć zaznaczone współczynniki):

Możemy więc zapisać w(x) w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)#underbrace((x^3+(p-1)x^2+(2-p)x-2))_(u(x))` 

Drugi czynnik oznaczyliśmy jako u(x). Jeśli pokażemy, że u(1) jest równe 0, to będzie to oznaczać, że 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu w (mamy już jeden czynnik (x-1), drugi czynnik (x-1) pojawiłby się po podzieleniu u(x) przez x-1). Sprawdźmy więc:

`u(1)=1^3+(p-1)*1^2+(2-p)*1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+(p-1)+(2-p)-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+p-1+2-p-2=0` 

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu u(x), co kończy dowód.