Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Wielomian w ma pierwiastek jednokrotny4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Wielomian w ma pierwiastek jednokrotny

8Zadanie
9Zadanie
10Zadanie
11Zadanie
12Zadanie
13Zadanie

`ul(ul("uwaga"))` 

Indeksy dolne często są niewygodne w obliczeniach (łatwo się pomylić), dlatego przyjmijmy następujące oznaczenia:

`x_1=a` 

`x_2=b` 

 

Zauważmy, że w obu podpunktach wielomian w jest wielomianem stopnia trzeciego, więc jeśli wiemy, że ma on pierwiastek jednokrotny x1=a oraz pierwiastek dwukrotny x2=b, to oznacza to, że nie może on już mieć więcej pierwiastków (ponieważ wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki liczone z krotnościami). 

 

W obu podpunktach współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1. Wielomian w(x) jest więc postaci:

`w(x)=1*(x-a)(x-b)^2=(x-a)(x^2-2xb+b^2)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-2x^2b+b^2x-ax^2+2abx-ab^2=` 

Porządkujemy wielomian ze względu na zmienną x:

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2` 

 

 

`a)` 

Wiemy, że drugi pierwiastek jest trzy razy mniejszy od pierwszego pierwiastka, czyli:

`a=3b` 

 

Podstawimy tą informację do wzoru na wielomian w:

`w(x)=x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-3b)x^2+(b^2+2*3b*b)x-3b*b^2=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-5bx^2+7b^2x-3b^3` 

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem:

`w(x)=x^3-5x^2+px+q` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Możemy więc porównać te współczynniki:

`x^3:\ \ \ 1=1`   

`x^2:\ \ \ -5b=-5\ \ \ =>\ \ \ b=-5:(-5)=1` 

`x^1:\ \ \ 7b^2=p\ \ \ =>\ \ \ p=7*1^2=7*1=7` 

`x^0:\ \ \ -3b^3=q\ \ \ =>\ \ \ q=-3*1^3=-3*1=-3` 

 

Znamy więc wartości współczynników p i q:

`ul(ul(p=7,\ \ \ q=-3))` 

 

Pierwiastki wielomianu:

`ul(ul(x_2=b=1,\ \ \ x_1=a=3b=3*1=3))` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

Wiemy, że drugi pierwiastek jest o 4 większy od pierwszego pierwiastka oraz że pierwszy pierwiastek jest liczbą całkowitą (więc drugi też):

`b=a+4\ \ \ \ \ \ \ (a in C)`  

`a=b-4` 

Podstawimy tą informację do wzoru na wielomian w:

`w(x)=x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-(b-4))x^2+(b^2+2(b-4)b)x-(b-4)b^2=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-b+4)x^2+(b^2+2b^2-8b)x-b^3+4b^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-3b+4)x^2+(3b^2-8b)x-b^3+4b^2` 

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem:

`w(x)=x^3+px^2+qx+8` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Możemy więc porównać te współczynniki:

`x^3:\ \ \ 1=1` 

`x^2:\ \ \ -3b+4=p` 

`x^1:\ \ \ 3b^2-8b=q` 

`x^0:\ \ \ -b^3+4b^2=8` 

 

Zacznijmy od rozwiązania ostatniego równania:

`-b^3+4b^2=8\ \ \ |-8` 

`-b^3+4b^2-8=0\ \ \ |*(-1)` 

`#underbrace(b^3-4b^2+8)_(q(b))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu q jest równy 8. Dzielniki 8 to: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Szukamy pierwiastków wielomianu q pośród tych dzielników:

`q(2)=2^3-4*2^2+8=8-4*4+8=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu q, więc wielomian q jest podzielny przez dwumian (b-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(b-2)\ *#(#(#(#(#underbrace((b^2-2b-4))_(Delta=(-2)^2-4*1*(-4)=))_(=4+16=20))_(sqrt(Delta)=sqrt4*sqrt5=2sqrt5))_(b_1=(2-2sqrt5)/2=1-sqrt5))_(b_2=(2+2sqrt5)/2=1+sqrt5)=0` 

Zauważmy, że pierwiastki otrzymane z czynnika kwadratowego nie są liczbami całkowtymi, więc należy je odrzucić (na początku założyliśmy, że a, a więc także b, są liczbami całkowitymi). Wartość b wynosi więc 2. Obliczamy wartości pozostałych parametrów:

`p=-3b+4=-3*2+4=-6+4=-2` 

`q=3b^2-8b=3*2^2-8*2=3*4-16=12-16=-4`  

`a=b-4=2-4=-2` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(p=-2,\ \ \ q=-4,\ \ \ x_1=-2,\ \ \ x_2=2))`