Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Dany jest wielomian 4.4 gwiazdek na podstawie 5 opinii

`"założenia:"\ \ \ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ \ \ (a,\ b,\ c,\ d in C)` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w(0),\ w(1)\ - \ "liczby nieparzyste"` 

`"teza:"\ "wielomian"\ w\ "nie ma pierwiastków całkowitych"` 

`"dowód:"` 

`w(0)=a*0^3+b*0^2+c*0+d=a*0+b*0+c*0+d=d\ \ -\ \ "liczba nieparzysta"` 

`w(1)=a*1^3+b*1^2+c*1+d=a+b+c+d\ \ \ -\ \ \ "liczba nieparzysta"` 

 

Przypuśćmy, że wielomian w ma jednak pewien pierwiastek całkowity. Jeśli taki pierwiastek istnieje, to musi być on dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli dzielnikiem liczby nieparzystej d. Wszystkie dzielniki liczby nieparzystej także są nieparzyste, a więc pierwiastek wielomianu w jest liczbą nieparzystą. Oznaczmy zatem ten pierwiastek jako 2k+1 (k - liczba całkowita).

Jeśli 2k+1 jest pierwiastkiem wielomianu, to wartość w(2k+1) powinna być równa 0. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak jest (skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na sześcian sumy oraz kwadrat sumy).

`w(2k+1)=a*(2k+1)^3+b*(2k+1)^2+c*(2k+1)+d=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a*((2k)^3+3*(2k)^2*1+3*2k*1^2+1^3)+b*((2k)^2+2*2k*1+1^2)+c*(2k+1)+d=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a(8k^3+12k^2+6k+1)+b(4k^2+4k+1)+c(2k+1)+d=` 

Uporządkujmy wielomian ze względu na k:

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =8ak^3+(12a+4b)k+(6a+4b+2c)k+(a+b+c+d)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =ul(2*4ak^3+2*(6a+2b)k+2*(3a+2b+c)k)+(a+b+c+d)=` 

Z podkreślonego wyrażenia wyciągamy 2 przed nawias: 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =#underbrace(#underbrace(2(4ak^3+(6a+2b)k+(3a+2b+c)k))_("liczba parzysta")+#underbrace((a+b+c+d))_("liczba nieparzysta"))_("liczba nieparzysta")` 

Z założenia wiemy, że a+b+c+d jest liczbą nieparzystą, suma liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą. Otrzymaliśmy więc, że wartość w(2k+1) jest liczbą nieparzystą, co jest sprzecznością (bo przecież ta wartość miała być równa 0, a liczba 0 jest przecież parzysta).