Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2014
Rozwiąż równanie 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii

`a)` 

`#underbrace((x^4+2x^3-4x^2-2x+3))_(w(x))=0`  

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 3. Jedyne dzielniki 3 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+2*1^3-4*1^2-2*1+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+2-4-2+3=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x^3+3x^2-x-3)=(x-1)(x^3-x+3x^2-3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x(x^2-1)+3(x^2-1))=(x-1)(x^2-1)(x+3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x-1)(x+1)(x+3)=(x-1)^2(x+1)(x+3)` 

 

Wracamy do równania:

`(x-1)^2(x+1)(x+3)=0` 

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3))` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

`#underbrace((x^4-x^3-2x-4))_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -4. Jedyne dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4-1^3-2*1-4=1-1-2-4=-6ne0` 

`w(2)=2^4-2^3-2*2-4=16-8-2*2-4=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-2)(x^3+x^2+2x+2)=(x-2)(x^2(x+1)+2(x+1))=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(x+1)(x^2+2)` 

Wracamy do równania:

`(x-2)(x+1)#underbrace((x^2\ \ + \ \ 2))_(Delta=0^2-4*1*2<0)=0` 

`ul(ul(x=2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1))`   

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

 

`c)` 

`#underbrace(2x^4-3x^3-3x-2)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Jedyne dzielniki -4 to -2, -1, 1, 2.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=2*1^4-3*1^3-3*1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2-3-3-2=-6ne0` 

`w(-1)=2*(-1)^4-3*(-1)^3-3*(-1)-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2+3+3-2=6ne0` 

`w(2)=2*2^4-3*2^3-3*2-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2*16-3*8-6-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =32-24-8=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-2)(2x^3+x^2+2x+1)=(x-2)(x^2(2x+1)+1(2x+1))=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(2x+1)(x^2+1)`    

 

Wracamy do równania:

`(x-2)(2x+1)#underbrace((x^2 \ \ + \ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)=0` 

`ul(ul(x=2\ \ \ \"lub"\ \ \ x=-1/2))`   

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`d)` 

`x^4+x^3-4x^2=3-5x\ \ \ |+5x-3` 

`#underbrace((x^4+x^3-4x^2+5x-3))_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -3. Jedyne dzielniki -4 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+1^3-4*1^2+5*1-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1-4+5-3=0` 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:
`w(x)=(x-1)#underbrace((x^3+2x^2-2x+3))_(u(x))` 

Pośród pozostałych dzielników szukamy pierwiastków wielomianu u (bierzemy te same dzielniki, bo jeśli coś byłoby pieriwastkiem wielomianu u, to byłoby także pierwiastkiem wielomianu u, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(3)=3^3+2*3^2-2*3+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =27+2*9-6+3ne0` 

`u(-3)=(-3)^3+2*(-3)^2-2*(-3)+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-27+2*9+6+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-27+18+9=0` 

Liczba -3 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+3). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:
`w(x)=(x-1)(x+3)(x^2-x+1)` 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+3)#underbrace((x^2-x+1))_(Delta=(-1)^2-4*1*1<0)=0` 

`ul(ul(x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3))` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`e)` 

`x^4+x+6=x^3+7x^2\ \ \ \ |-x^3-7x^2` 

`x^4-x^3-7x^2+x+6=0` 

`x^4-x^3-6x^2-x^2+x+6=0` 

`x^4-x^3-x^2+x-6x^2+6=0` 

`x^3(x-1)-x(x-1)-6(x^2-1)=0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`x^3(x-1)-x(x-1)-6(x-1)(x+1)=0` 

Wyciągamy (x-1) przed nawias:

`(x-1)(x^3-x-6(x+1))=0` 

`(x-1)(x^3-x-6x-6)=0` 

`#underbrace((x-1)#underbrace((x^3-7x-6))_(u(x)))_(w(x))=0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu u wśród dzielników -6, czyli wśród liczb -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.

`u(1)=1^3-7*1-6=1-7-6ne0` 

`u(-1)=(-1)^3-7*(-1)=-6=-1+7-6=0` 

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x+1)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ x\ -\ 6))_(Delta=(-1)^2-4*1*(-6)=))_(=1+24=25))_(sqrtDelta=5))_(x_1=(1-5)/2=-2))_(x_2=(1+5)/2=3)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)` 

 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)=0` 

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2\ \ \ "lub"\ \ \ x=3))` 

 

 

`ul("uwaga")` 

Mając równość:

`x^3(x-1)-x(x-1)-6(x^2-1)=0`

można było postąpić w inny sposób. Wyciągmy (x-1) przed nawias wyłącznie z dwóch pierwszych wyrazów:

`(x-1)(x^3-x)-6(x^2-1)=0` 

`(x-1)x(x^2-1)-6(x^2-1)=0` 

`x(x-1)(x^2-1)-6(x^2-1)=0` 

Wyciągamy (x²-1) przed nawias:

`(x^2-1)(x(x-1)-6)=0` 

`(x^2-1)(x^2-x-6)=0` 

Dalej rozwiązanie jest takie samo. 

  

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`f)`  

`x^4+x^2=8-6x\ \ \ |+6x-8` 

`#underbrace(x^4+x^2+6x-8)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -8. Jedyne dzielniki -8 to -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+1^2+6*1-8=1+1+6-8=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)#underbrace((x^3+x^2+2x+8))_(u(x))` 

Pośród pozostałych dzielników szukamy pierwiastków wielomianu u (bierzemy te same dzielniki, bo jeśli coś byłoby pieriwastkiem wielomianu u, to byłoby także pierwiastkiem wielomianu u, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(-2)=(-2)^3+(-2)^2+2*(-2)+8=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-8+4-4+8=0` 

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x+2)(x^2-x+4)` 

 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+2)#underbrace((x^2-x+4))_(Delta=(-1)^2-4*1*4<0)=0` 

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2))`