Autorzy:Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2015
Jeśli a=2/(√7-√3) , b=2/(√7-3), c=2/(3-√7)4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Jeśli a=2/(√7-√3) , b=2/(√7-3), c=2/(3-√7)

2Zadanie
1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie
4Zadanie
5Zadanie
6Zadanie

Jeśli dodatnie ułamki mają takie same liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik (mamy tyle samo części, ale jeśli mianownik jest mniejszy, to całość podzielona została na mniej części, czyli te części są większe). Musimy więc porównać mianowniki, a więc liczby:

`sqrt7-sqrt3` 

`sqrt7-3=sqrt7-sqrt9`  

`3-sqrt7=sqrt9-sqrt7` 

 

Zauważmy, że wartość drugiego mianownika jest liczbą ujemną (bo 7<9, czyli 7-9<0, a więc √7-√9<0):

`sqrt7-3<0`   

 

Wartości pozostałych dwóch mianowików są liczbami dodatnimi (bo 7>3, więc 7-3>0, czyli √7-√3>0, podobnie 9>7, więc 9-7>0, czyli √9-√7>0). Ułamek b będzie więc najmniejszy (bo jest ujemny, a ułamki a oraz c są dodatnie). Musimy porównać jeszcze mianowniki ułamków a i c. Dokonajmy szacowania mianowników tych ułamków:

`sqrt7-sqrt3~~sqrt(6,25)-sqrt(2,89)=sqrt((2,5)^2)-sqrt((1,7)^2)=2,5-1,7=0,8` 

`3-sqrt7~~3-sqrt(6,25)=3-sqrt((2,5)^2)=3-3,5=0,5` 

 

Mianownik ułamka a jest większy niż mianownik ułamka c, więc ułamek a jest mniejszy niż ułamek c. 

Prawidłowa jest więc odpowiedź C. 

 

 

`ul("uwaga")` 

Zadanie można rozwiązać także usuwając niewymierność z mianownika. Dokładniej będziemy zajmować się tym w kolejnych tematach, ale tak naprawdę wystarczy tylko pamiętać wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, który pojawił się w gimnazjum:

`(a-b)(a+b)=a^2-b^2` 

 

Usuńmy niewymierności z ułamków. Mnożąc przez ułamek o jednakowym liczniku i mianowniku tak naprawdę mnożymy przez 1, więc nie zmieniamy wyniku. 

`a=2/(sqrt7-sqrt3)=2/(sqrt7-sqrt3) *#(#underbrace((sqrt7+sqrt3)/(sqrt7+sqrt3))_("taki ułamek"))_("jest równy 1")=(2(sqrt7+sqrt3))/((sqrt7-sqrt3)(sqrt7+sqrt3))=(2(sqrt7+sqrt3))/(sqrt7^2-sqrt3^2)=(2(sqrt7+sqrt3))/(7-3)=(2(sqrt7+sqrt3))/4=(sqrt7+sqrt3)/2`  

`b=2/(sqrt7-3)=2/(sqrt7-3)*(sqrt7+3)/(sqrt7+3)=(2(sqrt7+3))/((sqrt7-3)(sqrt7+3))=(2(sqrt7+3))/(sqrt7^2-3^2)=(2(sqrt7+3))/(7-9)=(2(sqrt7+3))/(-2)=-(sqrt7+sqrt3)<0`  

`c=2/(3-sqrt7)=2/(3-sqrt7)*(3+sqrt7)/(3+sqrt7)=(2(3+sqrt7))/((3-sqrt7)(3+sqrt7))=(2(3+sqrt7))/(3^2-sqrt7^2)=(2(3+sqrt7))/(9-7)=(2(3+sqrt7))/2=3+sqrt7`      

 

Teraz wystarczy porównać ułamki a i c (jak poprzednio). Zauważmy, że:

`a=(sqrt7+sqrt3)/2` 

`b=3+sqrt7=(6+2sqrt7)/2=(2sqrt7+6)/2` 

`2sqrt7>sqrt7,\ \ \ 6>sqrt3,\ \ \ "więc"\ \ \ 2sqrt7+6>sqrt7+sqrt3,\ \ \ "czyli"\ \ \ (2sqrt7+6)/2>(sqrt7+sqrt3)/2\ \ \ (b>a)` 

 

   

 

 

 

Odpowiedź:

Odpowiedź B