Autorzy:Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo:Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro
Rok wydania:2013
Dany jest wzór funkcji kwadratowej f4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii

`a)` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ 2(x-1)(x+1)=0\ \ \ <=>\ \ \ x-1=0\ \ \ vee\ \ \ x+1=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {1,\ -1}\ \ -\ \ "m. zerowe"` 

Aby wyznaczyć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, warto pamiętać, że przechodzi przez nią oś symetrii paraboli. Miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, więc wystarczy policzyć średnią arytmetyczną miejsc zerowych: 

`p=(1+(-1))/2=0/2=0` 

Druga współrzędna wierzchołka to wartość, jaka jest osiągana przez funkcję f dla argumentu p: 

`q=f(0)=2*(0-1)*(0+1)=2*(-1)*1=-2` 

`W=(0,\ -2)\ \ -\ \ "wierzchołek"` 

 

`f(0)=-2\ \ \ =>\ \ \ (0,\ -2)\ \ -\ \ "punkt przec. z OY"` 

 

Aby naszkicować wykres korzystamy ze współrzędnych wierzchołka oraz ze współczynnika a: wystarczy przesunąć początek układu współrzędnych o wektor [0, -2] czyli o 2 jednostki w dół i w takim układzie narysować parabolę y=2x². 

 

`D_f\ =\ RR` 

`ZW_f\ =\ <<-2,\ +infty)` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {-1,\ 1}`  

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -1)\ uu\ (1,\ +infty)` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-1,\ 1)` 

`f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<0,\ +infty)` 

`f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 0>>` 

`x=0\ \ -\ \ "oś symetrii paraboli"` 

 

 

 

 

`b)` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ -(x-1)(x-5)=0\ \ \ <=>\ \ \ x-1=0\ \ \ vee\ \ \ x-5=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {1,\ 5}\ \ -\ \ "m. zerowe"` 

 

`p=(1+5)/2=6/2=3` 

`q=f(3)=-(3-1)*(3-5)=-2*(-2)=4` 

`W=(3,\ 4)\ \ -\ \ "wierzchołek"` 

 

`f(0)=-(0-1)*(0-5)=-(-1)*(-5)=-5` 

`(0,\ -5)\ \ -\ \ "punkt przec. z OY"` 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=-x² o wektor [3, 4], czyli o 3 jednostki w prawo i o 4 jednostki w górę. 

 

  

 

`D_f\ =\ RR` 

`ZW_f\ =\ (-infty,\ 4>>` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {1,\ 5}` 

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (1,\ 5)` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 1)\ uu\ (5,\ +infty)` 

`f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 3>>` 

`f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<3,\ +infty)` 

`x=3\ \ -\ \ "oś symetrii paraboli"` 

 

 

 

 

 

`c)` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ 1/4(x+2)(x+2)=0\ \ \ <=>\ \ \ x+2=0\ \ \ <=>\ \ \ x=-2\ \ -\ \ "m. zerowe"` 

 

`p=(-2+(-2))/2=-2` 

`q=f(-2)=0` 

`W=(-2,\ 0)\ \ -\ \ "wierzchołek"` 

 

`f(0)=1/4*(0+2)*(0+2)=1/4*2*2=1` 

`(0,\ 1)\ \ -\ \ "punkt przec. z OY"` 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=1/4x² o 2 jednostki w lewo

 

 

 

`D_f\ =\ RR` 

`ZW_f\ =\ <<1,\ +infty)` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x=-2` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in emptyset` 

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in RR-{-2}` 

`f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-2,\ +infty)` 

`f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -2>>` 

`x=-2\ \ -\ \ "oś symetrii paraboli"` 

 

 

 

`d)` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ -1/2(x+4)(x-2)=0\ \ \ <=>\ \ \ x+4=0\ \ \ vee\ \ \ x-2=0\ \ \ <=> \ \ \ x in {-4,\ 2}\ \ -\ \ "m. zerowe"` 

 

`p=(-4+2)/2=(-2)/2=-1` 

`q=f(-1)=-1/2*(-1+4)*(-1-2)=-1/2*3*(-3)=9/2=4 1/2` 

`W=(-1,\ 4 1/2)\ -\ "wierzchołek"` 

 

`f(0)=-1/2*(0+4)*(0-2)=-1/2*4*(-2)=4` 

`(0,\ 4)\ \ -\ \ "punkt przec. z OY"` 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=-1/2x² o 1 jednostkę w lewo i 4 1/2 jednostki w górę

 

 

 

`D_f\ =\ RR` 

`ZW_f\ =\ (-infty,\ 4 1/2>>` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {-4,\ 2}` 

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-4,\ 2)` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -4)\ uu\ (2,\ +infty)` 

`f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -1>>`

`f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1,\ +infty)` 

`x=-1\ \ -\ \ "oś symetrii paraboli"`