Autorzy:Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda
Wydawnictwo:Krzysztof Pazdro
Rok wydania:2014
Rozwiąż nierówności 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Rozwiąż nierówności

1Zadanie
2Zadanie

`a)` 

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 

`2x+7>=0\ \ \ |-7` 

`2x>=-7\ \ |:2` 

`x>=-7/2` 

`x in <<-7/2,\ +infty)` 

 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie x-4 przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego:

`x-4>0\ \ \ =>\ \ \ x>4` 

 

Biorąc pod uwagę dodatkowo założenia zapisujemy: 

`(x in <<-7/2,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x >4)\ \ \ =>\ \ \ x in (4,\ +infty)` 

 

Przy tych założeniach wiemy już, że obie strony nierówności są dodatnie (po lewej stronie wyrażenie może także przyjąć wartość równą 0), dlatego spokojnie możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu - znak nierówności nie zmieni się

`sqrt(2x+7)<x-4\ \ \ |^2` 

`2x+7<x^2-8x+16\ \ \ |-2x-7` 

`x^2-10x+9>0` 

 

Wyliczamy miejsca zerowe paraboli, aby móc narysować wykres pomocniczy: 

`Delta=(-10)^2-4*1*9=100-36=64` 

`sqrtDelta=8` 

`x_1=(10-8)/2=1` 

`x_2=(10+8)/2=9` 

 

`x in(-infty,\ 1)\ uu\ (9,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x in (4,\ +infty)\ \ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (9,\ +infty))` 

 

 

 

`b)` 

`{(x-2>=0), (x+3>=0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>=2), (x>=-3):}\ \ \ =>\ \ \ x in <<2,\ +infty)` 

 

 

Po obu stronach nierówności mamy coś nieujemnego, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu:

`sqrt(x-2)+sqrt(x+3)<2\ \ \ |^2` 

`x-2+2sqrt((x-2)(x+3))+x+3<4` 

`2x+1+2sqrt((x-2)(x+3))<4\ \ \ |-2x-1` 

`2sqrt((x-2)(x+3))<3-2x` 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie 3-2x przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego: 

`3-2x>0\ \ |-3` 

`-2x> -3\ \ \ |:(-2)` 

`x<3/2` 

 

Bierzemy pod uwagę jeszcze założenia: 

`(x in <<2,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x <3/2))\ \ \ =>\ \ \ x in emptyset` 

 

Nierówność jest więc sprzeczna