Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2016
Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii

Czworokąt jest trapezem, jeśli posiada jedną parę boków równoległych. 

a)

Wyznaczmy równania prostych AB i CD. Proste są równoległe, jeśli ich równania mają ten sam współczynnik kierunkowy A.

`A(-3,2)`

`B(6,2)`

`{(2=-3*a+b),(2=6*a+b):}`

`{(2=-3a+b),(2-6a=b):}`

`{(2=-3a+2-6a),(2-6a=b):}`

`{(2=-9a+2),(2-6a=b):}`

`{(2-2=-9a),(2-6a=b):}`

`{(0=-9a),(2-6a=b):}`

`{(0=a),(2-6&0=b):}`

`{(0=a),(2=b):}`

`y=ax+b`

`y=0*x+2`

`y=2`

 

`C(4,6)`

`D(1,6)`

`{(6=4*a+b),(6=1*a+b):}`

`{(6=4a+b),(6-1a=b):}`

`{(6=4a+6-1a),(6-1a=b):}`

`{(6-6=3a),(6-1a=b):}`

`{(0=3a),(6-1a=b):}`

`{(0=a),(6-0=b):}`

`{(a=0),(b=6):}`

`y=ax+b`

`y=0*x+6`

`y=6`

`AB \ || \ CD`

Proste AB i CD mają ten sam współczynnik kierunkowy równy 0, zatem są równoległe i czworokąt ABCD jest trapezem. Obliczmy obwód i pole tego trapezu.

Wysokością tego rapezu jest odległość między równoległymi prostymi AB i CD

`h=6-2=4`

Obliczmy długości jego podstaw

`|AB|=sqrt((6-(-3))^2+(2-2)^2)=sqrt81=9`

`|CD|=sqrt((6-6)^2+(1-4)^2)=sqrt9=3`

`P=((9+3)*strike4)/(strike2)=12*2=ul(ul(24))`

Obliczmy długości ramion, potrzebne do obliczenia obwodu tego trapezu:

`|BC|=sqrt((4-6)^2+(6-2)^2)=sqrt(4+16)=sqrt20=sqrt(4*5)=2sqrt5`

`|AD|=sqrt((1-(-3))^2+(6-2)^2)=sqrt(16+16)=sqrt(16*2)=4sqrt2``

`O=|AB|+|CD|+|BC|+|CD|=9+3+2sqrt5+4sqrt2=`

`=12+2sqrt5+4sqrt2=ul(ul(2(6+sqrt5+2sqrt2))`

 b)

Analogicznie do punktu a)- znajdujemy równania prostych równoległych.

`A(-3,-3)`

`B(1,-5)`

`{(-3=-3a+b),(-5=1a+b):}`

`{(-3=-3a+b),(-5-a=b):}`

`{(-3=-4a-5-a),(-5-a=b):}`

 `{(-3+5=-4a),(-5-a=b):}`

`{(2=-4a \ \ \ |:(-4)),(-5-a=b):}`

`{(a=-1/2),(-5-a=b):}`

`{(a=-1/2),(-5-(-1/2)=b):}`

`{(a=-1/2),(-4 1/2=b):}`

`y=ax+b`

`y=-1/2x-4 1/2`

`C(1,9)`

`D(-3,1)`

`{(9=1*a+b),(1=-3a+b):}`

`{(9=a+b),(1+3a=b):}`

`{(9=a+1+3a),(1+3a=b):}`

`{(9-1=4a),(1+3a=b):}`

`{(8=4a \ \ \ \ |:4),(1+3a=b):}`

`{(a=2),(1+3*2=b):}`

`{(a=2),(b=7):}`

`y=ax+b`

`y=2x+7`

Proste AB i CD nie mają tych samych współczynników kierunkowych- nie są równoległe. Udowadniamy więc, że druga para boków jest równoległa- wyznaczamy równania prostych AD i BC.

Prosta AD:

`A(-3,-3)`

`D(-3,1)`

Wyznaczmy równanie tej prostej w szybszy sposób. Pierwsza współrzędna tych punktów jest taka sama, a to oznacza, że prostą AD opisujemy równaniem wynikającym z tej współrzędnej:

`x=-3`

Prosta BC:

`B(1,-5)`

`C(1,9)`

Pierwsza współrzędna tych punktów jest taka sama, a to oznacza, że prostą BC opisujemy równaniem wynikającym z tej współrzędnej:

`x=1`

Proste x=-3 i x=1 są równoległe. 

Odległość pomiędzy tymi prostymi stanowi wysokość trapezu

`h=1-(-3)=4`

Obliczmy długość podstaw AD i BC:

`|AD|=sqrt((-3-(-3))^2+(1-(-3))^2)=sqrt16=4`

`|BC|=sqrt((1-1)^2+(9-(-5))^2)=sqrt196=14`

`P=((14+4)*strike4)/(strike2)=ul(ul(36))`

Długości ramion tego trapezu:

`|AB|=sqrt((-5-(-3))^2+(1-(-3))^2)=sqrt(4+16)=sqrt20=sqrt(4*5)=2sqrt5`

`|CD|=sqrt((-3-1)^2+(1-9)^2)=sqrt(16+64)=sqrt80=sqrt(16*5)=4sqrt5`

`O=4+14+2sqrt5+4sqrt5=18+6sqrt5=ul(ul(6(3+sqrt5)))`