Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2015
Wykaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Wykaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny

1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie
4Zadanie
5Zadanie
6Zadanie
1Zadanie
2Zadanie

`a)` 

Kolejne liczby naturalne: n, n+1, n+2

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość n+2. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: 

`n^2+(n+1)^2=(n+2)^2` 

`n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4` 

`2n^2+2n+1=n^2+4n+4\ \ \ |-n^2-4n-4` 

`n^2-2n-3=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16` 

`sqrtDelta=sqrt16=4` 

`n_1=(2-4)/2notin NN` 

`n_2=(2+4)/2=6/2=3` 

 

`n=3,\ \ n+1=4,\ \ n+2=5` 

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 3, 4, 5. 

 

 

 

`b)` 

Kolejne naturalne liczby parzyste: 2n, 2n+2, 2n+4

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość 2n+4. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy: 

`(2n)^2+(2n+2)^2=(2n+4)^2` 

`4n^2+4n^2+8n+4=4n^2+16n+16` 

`8n^2+8n+4=4n^2+16n+16\ \ \ \ |-4n^2-16n-16` 

`4n^2-8n-12=0\ \ \ |:4` 

`n^2-2n-3=0` 

Dostaliśmy takie samo równanie, jak w a, jego jedynym naturalnym rozwiązaniem jest n=3.

`2n=2*3=6,\ \ 2n+2=8,\ \ 2n+4=10` 

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 6, 8, 10.