Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2015
Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie
4Zadanie
5Zadanie
6Zadanie
7Zadanie

`a)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(x-y=-5), (2x+y=-4):}\ \ \ \ \ |+` 

`3x=-9\ \ \ |:3` 

`x=-3` 

 

Podstawiamy do drugiego równania: 

`2*(-3)+y=-4` 

`-6+y=-4\ \ \ \ |+6` 

`y=2` 

 

`{(x=-3), (y=2):}` 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

Przekszatłcamy równania prostych do postaci kierunkowej. 

`{(x-y=-5\ \ \ |-x), (2x+y=-4\ \ \ |-2x):}` 

`{(-y=-x-5\ \ \ |*(-1)), (y=-2x-4):}` 

`{(y=x+5), (y=-2x-4):}` 

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które umożliwią narysowanie wykresu. 

`y=x+5` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+5=5` 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-2+5=3` 

 

 

`y=-2x-4` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-4=0-4=-4` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-4=2-4=-2` 

 

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia wykresów - jest to rozwiązanie układu równań. 

`{(x=-3), (y=2):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

`b)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(3x-y=3\ \ \ |*(-3)), (x-3y=-15):}` 

`{(-9x+3y=-9), (x-3y=-15):}\ \ \ \ |+` 

`-8x=-24\ \ \ |:(-8)` 

`x=3` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu:

`3*3-y=3` 

`9-y=3\ \ \ |-9` 

`-y=-6\ \ \ |*(-1)` 

`y=6` 

 

`{(x=3), (y=6):}` 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(3x-y=3\ \ \ |-3x), (x-3y=-15\ \ \ |-x):}` 

`{(-y=-3x+3\ \ \ |*(-1)), (-3y=-x-15\ \ \ \|:(-3)):}` 

`{(y=3x-3), (y=1/3x+5):}` 

 

`y=3x-3` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-3=0-3=-3` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-3=6-3=3` 

 

 

`y=1/3x+5` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*0+5=0+5=5` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3+5=1+5=6` 

 

 

`{(x=3), (y=6):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

`c)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(3x-2y=5), (x-y=3\ \ \ |*(-2)):}` 

`{(3x-2y=5), (-2x+2y=-6):}\ \ \ \ |+` 

`x=-1` 

Podstawiamy do drugiego równania pierwszego układu: 

`-1-y=3\ \ \ |+1` 

`-y=4\ \ \ |*(-1)` 

`y=-4` 

 

`{(x=-1), (y=-4):}` 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(3x-2y=5\ \ \ \|-3x), (x-y=3\ \ \ \|-x):}` 

`{(-2y=-3x+5\ \ \ |:(-2)), (-y=-x+3\ \ \ |*(-1)):}` 

`{(y=3/2x-5/2), (y=x-3):}` 

 

`y=3/2x-5/2`  

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*1-5/2=3/2-5/2=-2/2=-1` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*3-5/2=9/2-5/2=4/2=2` 

 

 

`y=x-3` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-3=-3` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2-3=-1` 

 

`{(x=-1), (y=-4):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

`d)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(3x+4y=-19), (1/2x-y=-1.5\ \ \ |*4):}` 

`{(3x+4y=-19), (2x-4y=-6):}\ \ \ \ |+` 

`5x=-25\ \ \ |:5` 

`x=-5` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu: 

`3*(-5)+4y=-19` 

`-15+4y=-19\ \ \ |+15`  

`4y=-4\ \ \ |:4` 

`y=-1` 

`{(x=-5), (y=-1):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

 `{(3x+4y=-19\ \ \ \ |-3x), (1/2x-y=-1.5\ \ \ |-1/2x):}` 

`{(4y=-3x-19\ \ \ |:4), (-y=-1/2x-1.5\ \ \ |*(-1)):}`  

 

`{(y=-3/4x-19/4), (y=1/2x+1 1/2):}` 

 

`y=-3/4x-19/4` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-1)-19/4=3/4-19/4=-16/4=-4` 

`x=-5\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-5)-19/4=15/4-19/4=-4/4=-1` 

 

 

`y=1/2x+1 1/2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+1 1/2=1/2+1 1/2=2` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+1 1/2=3/2+1 1/2=1 1/2+1 1/2=3` 

 

 

`{(x=-5), (y=-1):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

`e)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(0.5y-0.125x=1.5\ \ \ \ |*(-8)), (1/4y-1/32x=1\ \ \ |*32):}`  

`{(-4y+x=-12), (8y-x=32):}\ \ \ \ |+` 

`4y=20\ \ \ \ |:4` 

`y=5` 

Podstawiamy do pierwszego równania ostatniego układu:

`-4*5+x=-12`  

`-20+x=-12\ \ \ |+20` 

`x=8` 

 

`{(x=8), (y=5):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(0.5y-0.125x=1.5\ \ \ |+0.125x), (1/4y-1/32x=1\ \ \ |+1/32x):}` 

`{(0.5y=0.125x+1.5\ \ \ |*2), (1/4y=1/32x+1\ \ \ |*4):}` 

`{(y=0.25x+3), (y=1/8x+4):}` 

`{(y=1/4x+3), (y=1/8x+4):}` 

 

`y=1/4x+3` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/4*4+3=1+3=4` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=1/4*(-4)+3=-1+3=2` 

 

 

`y=1/8x+4` 

`x=8\ \ \ ->\ \ \ y=1/8*8+4=1+4=5` 

`x=-8\ \ \ ->\ \ \ y=1/8*(-8)+4=-1+4=3` 

 

 

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

 `f)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(2y-(3x-4)/2=0\ \ \ |*2), (y-1.5x=5\ \ \ |*2):}` 

 

`{(4y-(3x-4)=0), (2y-3x=10):}` 

`{(4y-3x+4=0\ \ \ |-4), (2y-3x=10\ \ \ |*(-2)):}` 

`{(4y-3x=-4), (-4y+6x=-20):}\ \ \ |+` 

`3x=-24\ \ \ |:3` 

`x=-8` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu:

`y-1.5*(-8)=5` 

`y+12=5\ \ \ |-12` 

`y=-7` 

 

`{(x=-8), (y=-7):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(2y-(3x-4)/2=0\ \ \ |+(3x-4)/2), (y-1.5x=5 \ \ \ \ |+1.5x):}`  

`{(2y=(3x-4)/2\ \ \ |:2), (y=1.5x+5):}` 

`{(y=(3x-4)/4),(y=1 1/2x+5):}` 

`{(y=3/4x-1), (y=3/2x+5):}` 

 

`y=3/4x-1` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0-1=0-1=-1` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*4-1=3-1=2` 

 

 

`y=3/2x+5` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0+5=0+5=5` 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*(-2)+5=-3+5=2` 

 

 

`{(x=-8), (y=-7):}`