Autorzy:Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo:Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro
Rok wydania:2013
Wykaż, że nieskończony ciąg jest malejący 4.88 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Wykaż, że nieskończony ciąg jest malejący

1Zadanie
2Zadanie
3Zadanie

Wystarczy pokazać, że różnica wyrazów o indeksie (n+1) oraz n jest ujemna. 

 

 

`a)\ a_(n+1)-a_n=(5-(n+1))-(5-n)=` 

`\ \ \ =(5-n-1)-5+n=` 

`\ \ \ =4-n-5+n=-1<0` 

 

 

 

`b)\ a_(n+1)-a_n=2/((n+1)+1)-2/(n+1)=` 

`\ \ \ =2/(n+2)-2/(n+1)=` `(2(n+1))/((n+2)(n+1))-(2(n+2))/((n+2)(n+1))=` 

`\ \ \ =(2n+2)/((n+2)(n+1))-(2n+4)/((n+2)(n+1))=` 

`\ \ \ =(2n+2-(2n+4))/((n+2)(n+1))=` `(2n+2-2n-4)/((n+2)(n+1))=` 

`\ \ \ =(-2)/((n+2)(n+1))<0`  

 

Wartość ostatniego wyrażenia jest ujemna, ponieważ jest on ilorazem liczby ujemnej (-2) oraz liczby dodatniej (iloczyn (n+2)(n+1) to iloczyn dwóch liczb naturalnych, jest więc dodatni)

 

 

 

`c)\ a_(n+1)-a_n=(1-2(n+1))/(n+1)-(1-2n)/n=` 

`\ \ \ =(1-2n-2)/(n+1)-(1-2n)/n=` `(-2n-1)/(n+1)-(1-2n)/n=` 

`\ \ \ =((-2n-1)n)/((n+1)n)-((1-2n)(-2n-1))/((n+1)n)=` 

`\ \ \ =(-2n^2-n)/(n(n+1))-(-2n-1+4n^2+2n)/(n(n+1))=` 

`\ \ \ =(-2n^2-n-(-1+4n^2))/(n(n+1))=` 

`\ \ \ =(-2n^2-n+1-4n^2)/(n(n+1))=` 

`\ \ \ =(-6n^2-n+1)/(n(n+1))` 

 

Mianownik n(n+1) jest dodatni, ponieważ jest iloczynem dwóch liczb naturalnych.

Musimy pokazać więc, że licznik jest ujemny (iloraz liczby ujemnej przez dodatnią jest ujemny)

W tym celu policzmy deltę, wyznaczmy miejsca zerowe, narysujmy wykres pomocniczy - będzie wiadomo, gdzie przyjmowane są wartości ujemne

 

`Delta=(-1)^2-4*(-6)*1=` `1+24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`n_1=(1-5)/(2*(-6))=` `(-4)/(-12)=1/3` 

`n_2=(1+5)/(2*(-6))=6/(-12)=-1/2` 

 

Dla n=1, 2, 3... funkcja przyjmuje wartości ujemne, zatem pokazaliśmy to, co chcieliśmy.