Autorzy:Opracowanie zbiorowe
Wydawnictwo:WSiP
Rok wydania:2014
Na rysunku przedstawiono siatki pewnych ostrosłupów prawidłowych 4.56 gwiazdek na podstawie 18 opinii

Na rysunku przedstawiono siatki pewnych ostrosłupów prawidłowych

3Zadanie

`I` 

`"Do policzenia objętości potrzebna będzie wysokość ostrosłupa, policzymy ją z twierdzenia" `
`"Pitagorasa dla zamalowanego na zielono trójkąta:"`

`2^2+H^2=6^2` 

`4+H^2=36\ \ \ |-4` 

`H^2=32` 

`H=sqrt32=sqrt(16*2)=sqrt16*sqrt2=4sqrt2\ cm`  

`V=1/3*4*4*4sqrt2=(64sqrt2)/3\ cm^3` 

 

`II` 

`"x to"\ 1/3\ "wysokości podstawy (wysokości trójkąta równobocznego o boku"\ 2\ "cm), więc możemy zapisać:"`  

`x=1/3*(2sqrt3)/2=1/3*sqrt3=sqrt3/3\ cm` 

`"Teraz możemy obliczyć wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa:"`

`H^2+(sqrt3/3)^2=9^2` 

`H^2+3/9=81` 

`H^2+1/3=81\ \ \ |-1/3`  

`H^2=80 2/3` 

`H=sqrt(80 2/3)=sqrt(242/3)\ cm` 

`V=1/3*(2^2sqrt3)/4*sqrt(242/3)=` `1/3*(4sqrt3)/4*sqrt242/sqrt3=` 

`\ \ \ =1/3*sqrt3*sqrt242/sqrt3=` `sqrt242/3\ cm^3` 

 

`III` 

`"Najpierw obliczamy długość trzeciej krawędzi ściany bocznej (przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym" `
`"o przyprostokątnych"\ 2", jest to zarazem krawędź podstawy tego ostrosłupa)."`

`2^2+2^2=x^2` 

`4+4=x^2` 

`x^2=8` 

`x=sqrt8=sqrt(4*2)=sqrt4*sqrt2=2sqrt2\ cm` 

`"Teraz możemy obliczyć wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:"`

`sqrt2^2+h^2=2^2` 

`2+h^2=4` 

`h^2=2` 

`h=sqrt2\ cm` 

`"W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym"\ 1/3\ "wysokości podstawy, wysokość ściany bocznej oraz wysokość"`
`"ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny (patrz rysunek do przykładu II)"`

`H^2+(1/3*(2sqrt2*sqrt3)/2)^2=(sqrt2)^2`  

`H^2+(1/3*sqrt6)^2=2` 

`H^2+6/9=2` 

`H^2+2/3=2\ \ \ |-2/3` 

`H^2=1 1/3` 

`H=sqrt(1 1/3)=sqrt(4/3)=sqrt4/sqrt3=2/sqrt3\ cm`  

`P_p=((2sqrt2)^2sqrt3)/4=` `(4*2sqrt3)/4=2sqrt3\ cm^2` 

`V=1/3*2sqrt3*2/sqrt3=` `1/3*2*2=4/3\ cm^3=1 1/3\ cm^3`