Autorzy:Jerzy Janowicz
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2011
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych CA= 11,2cm4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych CA= 11,2cm

15Zadanie
16Zadanie
17Zadanie
18Zadanie
19Zadanie

I przypadek

Oznaczmy sobie punkty przecięcia prostej z bokami trójkąta ABC jako D i E. 

W oparciu o twierdzenie Talesa układamy proporcje:

`(|AD|)/(|DC|)=(|AE|)/(|EB|)`

Wiemy, że prosta podzieliła przeciwprostokątna w stosunku 2:5, zatem:

`(|AE|)/(|EB|)=2/5`

Wiemy również że odcinek AC ma długość 11,2 cm, a jego długość jest sumą długości odcinków AD i DC

`|AD|+|DC|=11,2cm`

`|AD|=11,2cm-|DC|`

Zależności te podstawiamy do naszej proporcji

`(11,2cm-|DC|)/(|DC|)=2/5`

`(11,2cm-|DC|)*5=2*|DC|`

`56cm-5|DC|=2|DC|`

`56cm=2|DC|+5|DC|`

`56cm=7|DC|`          `/:7`

`|DC|=ul(8cm)`

`|AD|=11,2cm-8cm=ul(3,2cm)`

 

`(|AD|)/(|DE|)=(|AC|)/(|CB|)`

`(3,2cm)/(|DE|)=(11,2cm)/(8,4cm)`

`3,2*8,4=|DE|*11,2`

`32/10*84/10=|DE|*112/10`       `/:112/10`  

`32/10*84/10:112/10 =|DE|`

`32/10*(strike84)/(strike10)*(strike10)/(strike112) =|DE|`

`|DE|=(strike32)/10*21/1*1/(strike28)`

`|DE|=(strike8)/(strike10)*strike21*1/(strike7)`

`|DE|=4/5*3*1/1`

`|DE|=12/5`

`|DE|=ul(2 2/5cm)`

 

 Obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC: korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

`|AB|^2=(11,2)^2+(8,4)^2`

`|AB|^2=(11 1/5)^2+(8 2/5)^2`

`|AB|^2=(56/5)^2+(42/5)^2`

`|AB|^2=3136/25+1764/25`

`|AB|^2=4900/25`           `/sqrt`

`|AB|=sqrt(4900/25)`

`|AB|=(sqrt4900)/(sqrt25)`

`|AB|=70/5`

`|AB|=ul(14cm)`

 

`|AE|+|EB|=14`

`|AE|=14-|EB|`

 

`(|AE|)/(|EB|)=2/5`

`(14-|EB|)/(|EB|)=2/5`

`5*(14-|EB|)=|EB|*2`

`70-5|EB|=2|EB|`

`70=2|EB|+5|EB|`

`70=7|EB|`        `/:7`

`|EB|=ul(10cm)`

 

`|AE|=14cm-10cm=ul(4cm)`

 

 

 

 

Trójkąt AED

`O_(AED)=|AE|+|AD|+|DE|=4cm+3,2cm+2 2/5cm=4cm+3 1/5cm+2 2/5cm= ul(ul(ul(9 3/5cm)`

`P_(AED)=1/2*2 2/5cm*3 1/5cm=1/2* 12/5 cm* 16/5cm=192/50 cm^2=3 42/50cm^2=ul(ul(ul(3 21/25 cm^2))`

 

Trapez DEBC

`O_(DEBC)=|DE|+|EB|+|BC|+|CD|=2 2/5+10+8,4+8=2 2/5+18+ 8 2/5= 10 4/5+18=ul(ul(ul( 28 4/5cm))`

`P_(DEBC)=((|DE|+|CB|)*|CD|)/2=((2 2/5cm+8,4cm)*strike8cm)/(strike2)=`

`=(2 2/5cm+8 2/5cm)*4cm=10 4/5cm*4cm=54/5cm*4cm= 216/5 cm^2= ul(ul(ul(43 1/5 cm^2))`

 

 

 

 

 II przypadek

W oparciu o twierdzenie Talesa układamy proporcje:

`(|DC|)/(|AD|)=(|EB|)/(|AB|)`

Wiemy, że prosta podzieliła przeciwprostokątna w stosunku 2:5, zatem:

`(|EB|)/(|AB|)=2/5`

Podobnie jak w przypadku pierwszym, wiemy również że odcinek AC ma długość 11,2 cm, a jego długość jest sumą długości odcinków AD i DC

`|AD|+|DC|=11,2cm`

`|AD|=11,2cm-|DC|`

Zależności te podstawiamy do naszej proporcji

`(|DC|)/(11,2cm-|DC|)=2/5`

`(11,2cm-|DC|)*2=5*|DC|`

`22,4cm-2|DC|=5|DC|`

`22,4cm=2|DC|+5|DC|`

`22,4cm=7|DC|`          `/:7`

`|DC|=ul(3,2cm)`

`|AD|=11,2cm-3,2cm=ul(8cm)`

 

`(|AD|)/(|DE|)=(|AC|)/(|CB|)`

`(8cm)/(|DE|)=(11,2cm)/(8,4cm)`

`8*8,4=|DE|*11,2`

`8*84/10=|DE|*112/10`       `/:112/10`  

`8*84/10:112/10 =|DE|`

`8*(strike84)/(strike10)*(strike10)/(strike112) =|DE|`

`|DE|=strike8*21/1*1/(strike28)`

`|DE|=2*strike21*1/(strike7)`

`|DE|=2*3*1/1`

`|DE|=ul(6cm)`

 

Długość odcinka AB obliczyliśmy już w pierwszej części zadania z twierdzenia Pitagorasa:

`|AB|=ul(14cm)`

 

`|AE|+|EB|=14`

`|AE|=14-|EB|`

 

`(|EB|)/(|AE|)=2/5`

`(|EB|)/(14-|EB|)=2/5`

`2*(14-|EB|)=|EB|*5`

`28-2|EB|=5|EB|`

`28=2|EB|+5|EB|`

`28=7|EB|`        `/:7`

`|EB|=ul(4cm)`

 

`|AE|=14cm-4cm=ul(10cm)`

 

 

 

Trójkąt AED

`O_(AED)=|AE|+|AD|+|DE|=10cm+8cm+6cm=ul(ul(ul(24cm)`

`P_(AED)=1/2*|AD|*|DE|=1/2*6cm*8cm=ul(ul(ul(24cm^2))`

 

Trapez DEBC

`O_(DEBC)=|DE|+|EB|+|BC|+|CD|=6cm+4cm+8,4cm+3,2cm= ul(ul(ul(21,6cm))`

`P_(DEBC)=((|DE|+|CB|)*|CD|)/2=((6cm+8,4cm)*strike(3,2cm))/(strike2)=14,4cm*1,6cm=`

`=14 2/5cm*16/10cm=(strike72)/5cm*16/(strike10)cm=32/5*16/5cm^2=576/25 =ul(ul(ul(23 1/25cm^2))`