Autorzy:Jerzy Janowicz
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2011
Z równoramiennych trójkątów prostokątnych zbudowano4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Z równoramiennych trójkątów prostokątnych zbudowano

3Zadanie
4Zadanie
5Zadanie
6Zadanie
7Zadanie
8Zadanie
9Zadanie
10Zadanie
11Zadanie

I sposób

Oznaczmy sobie długość przyprostokątnej trójkąta 1 jako x. Wtedy jego pole wynosi:

`P_1=1/2*x*x=1/2x^2` 

A długość przeciwprostokątnej tego trójkąta możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2+x^2=a^2` 

`2x^2=a^2 \ \ \ \ |sqrt` 

`a=sqrt(2x^2)=sqrt2*sqrt(x^2)=sqrt2*x=xsqrt2` 

Długość tą mogliśmy również przypominając sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

`x*sqrt2=xsqrt2` 

 

 

Długość przyprostokątnej trójkąta 2 pokrywa się z długością przeciwprostokątnej trójkąta 1, czyli jej długość wynosi x√2. Pole trójkąta 2:

`P_2=1/2*xsqrt2*xsqrt2=1/2*x^2*sqrt4=1/strike2^1*x^2*strike2^1=x^2` 

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 2 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 3):

`xsqrt2*sqrt2=xsqrt4=x*2=2x` 

Pole trójkąta 3:

`P_3=1/2*2x*2x=1/strike2^1*strike4^2x^2=2x^2` 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 3 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 4):

`2x*sqrt2=2sqrt2x` 

Pole trójkąta 4:

`P_4=1/2*2sqrt2x*2sqrt2x=1/2*2^2*sqrt4*x^2=1/strike2^1*4*strike2^1*x^2=4x^2` 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 4 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 5):

`2sqrt2x*sqrt2=2sqrt4x=2*2*x=4x` 

` ` Pole trójkąta 5:

`P_5=1/strike2^1*strike4^2x*4x=8x^2` 

`a) \ \ P_2/P_1=x^2/(1/2x^2)=2` 

`b) \ \ P_4/P_2=(4x^2)/(x^2)=4` 

`c) \ \ P_5/P_3=(8x^2)/(2x^2)=4` 

`d) \ \ P_5/P_3=(8x^2)/(1/2x^2)=8:1/2=8*2=16`

II sposób

Przypominamy sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

Zauważamy, że ponieważ przyprostokątna każdego kolejnego trójkąta pokrywa się z przeciwprostokątną trójkąta poprzedniego, każdy kolejny trójkąt ma przyprostokątną √2 razy większą od poprzedniego.

Tym samym wszytkie wymiary kolejnego trójkąta są √2 razy większe, czyli skala podobieństwa wynosi:

`k=sqrt2` 

A stosunek pól dwóch kolejnych trójkątów wynosi:

`k^2=(sqrt2)^2=2` 

`a) \ \ P_2/P_1=2` 

`b) \ P_4/P_2` 

Wymiary trójkąta 4 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 2
`sqrt2*sqrt2=2` 

`k=2` 

`k^2=4` 

`P_4/P_2=4`

`c) \ \ P_5/P_3`

Wymiary trójkąta 5 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 3

`sqrt2*sqrt2=2` 

`k=2` 

`k^2=4` 

`P_5/P_3=4` 

`d) \ \ P_5/P_1` 

Wymiary trójkąta 5 są √2√2√2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 1.

`sqrt2*sqrt2*sqrt2*sqrt2=sqrt4*sqrt4=4` 

`k=4` 

`k^2=16` 

`P_5/P_1=16`