Autorzy:Jerzy Janowicz
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2016
Oblicz długość przekątnej 4.4 gwiazdek na podstawie 5 opinii

W prostopadłościanie przekątna podstawy (x), krawędź boczna (a) oraz przekątna prostopadłościanu (d) tworzą trójkąt prostokątny.

 

`a)` 

Odcinek a ma 24 cm.

Odcinek x to przekątna prostokąta o wymiarach 6 cm i 8 cm. 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość odcinka x. 

`6^2+8^2=x^2` 

`36+64=x^2` 

`x^2=100` 

`x=sqrt100=10\ cm` 

 

Teraz ponownie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta zamalowanego na pomarańczowo) i obliczamy długość odcinka d, czyli przekątnej prostopadłościanu: 

`24^2+10^2=d^2` 

`576+100=d^2` 

`d^2=676` 

`d=sqrt676=ul(ul(26\ cm))` 

 

 

 

`b)` 

Odcinek a ma długość 7 m. 

Odcinek x to przekątna prostokąta o wymiarach √47 m i 4√3 m. Obliczamy długość odcinka x korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`(sqrt47)^2+(4sqrt3)^2=x^2` 

`47+16*3=x^2` 

`47+48=x^2` 

`x^2=95` 

`x=sqrt95\ m` 

 

 

Teraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na pomarańczowo obliczamy długość przekątnej prostopadłościanu: 

`7^2+(sqrt95)^2=d^2` 

`49+95=d^2` 

`d^2=144` 

`d=sqrt144=12\ m` 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

  

 

W sześcianie jest podobnie jak w prostopadłościanie, krawędź boczna, przekątna podstawy oraz przekątna prostopadłościanu tworzą trójkąt prostokątny. 

 

`c)` 

Krawędź boczna ma 5 cm. Odcinek x to przekątna kwadratu o boku 5 cm. Obliczamy długość odcinka x korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`5^2+5^2=x^2` 

`5^2*2=x^2` 

`x=sqrt(5^2*2)=sqrt(5^2)*sqrt2=5sqrt2\ cm` 

 

 

Teraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na pomarańczowo obliczamy długość przekątnej sześcianu: 

`5^2+(5sqrt2)^2=d^2` 

`25+25*2=d^2` 

`d^2=25*3` 

`d=sqrt(25*3)=sqrt25*sqrt3=5sqrt3\ cm` 

 

 

 

`d)` 

Obliczamy długość odcinka x: 

`sqrt12^2+sqrt12^2=x^2` 

`12+12=x^2` 

`x^2=24` 

`x=sqrt24=sqrt4*sqrt6=2sqrt6\ m` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na pomarańczowo obliczamy długość przekątnej sześcianu: 

`sqrt12^2+(2sqrt6)^2=d^2` 

`12+4*6=d^2` 

`12+24=d^2` 

`d^2=36` 

`d=sqrt36=6\ m`