Autorzy:Janowicz Jerzy
Wydawnictwo:Nowa Era
Rok wydania:2015
Wyznacz miary kątów wewnętrznych 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii

Wyznacz miary kątów wewnętrznych

2Zadanie
3Zadanie
4Zadanie
5Zadanie
6Zadanie
7Zadanie

`a)` 

Obliczmy miarę kąta AOC:

`|angleAOC|=360^o-(78^o +166^o)=360^o-244^o=116^o` 

Odcinki OA, OB, OC to promienie okręgu, więc mają jednakową długość. Wnioskujemy więc, że trójkąty AOB, BOC, COA są równoramienne, a w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę. 

Korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni, możemy obliczyć miary kątów przy podstawie w tych trójkątach.

`|angleOAB|=|angleOBA|=(180^o-166^o):2=14^o:2=7^o` 

`|angleOBC|=|angleOCB|=(180^o-78^o):2=102^o:2=51^o` 

`|angleOAC|=|angleOCA|=(180^o-116^o):2=64^o:2=32^o` 

 

 

Wyznaczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC:

`|angleA|=32^o +7^o=39^o` 

`|angleB|=7^o +51^o=58^o` 

`|angleC|=32^o +51^o=83^o` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

 

`b)` 

Kąt ACB to kąt wpisany oparty na półkolu, jest więc kątem prostym. Miarę kąta przy wierzchołku B wyznaczymy korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. 

`|angleA|=28^o` 

`|angleC|=90^o` 

`|angleB|=180^o-90^o-28^o=62^o` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

`c)` 

Odcinki OA, OB, OC to promienie okręgu, więc mają jednakową długość. Wnioskujemy więc, że trójkąty AOB, BOC, COA są równoramienne, a w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę. 

`|angleOAB|=|angleOBA|=45^o`  

`|angleOCA|=|angleOAC|=31^o` 

 

 

Korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni, możemy obliczyć kolejne miary kątów:

`|angleAOC|=180^o-2*31^o=180^o-62^o=118^o` 

`|angleAOB|=180^o-2*45^o=180^o-90^o=90^o` 

 

Znając miary kątów AOC i AOB możemy obliczyć miarę kąta BOC:

`|angleBOC|=360^o-118^o-90^o=242^o-90^o=152^o` 

 

Jak zauważyliśmy wcześniej, trójkąt BOC jest równoramienny, więc obliczamy miarę kątów przy podstawie w tym trójkącie:

`|angleOBC|=|angleOCB|=(180^o-152^o):2=28^o:2=14^o` 

 

 

 

Wyznaczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC:

`|angleA|=|angleOAC|+|angleOAB|=31^o +45^o=76^o` 

`|angleB|=|angleOBA|+|angleOBC|=45^o +14^o=59^o` 

`|angleC|=|angleOCB|+|angleOCA|=14^ o +31^o=45^o` 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

Odcinki OA i OC to promienie okręgu, więc mają jednakową długość, co oznacza, że trójkąt OCA jest równoramienny. Kąty OCA i OAC mają więc jednakową miarę (są kątami przy podstawie w trójkącie równoramiennym). 

`|angleOCA|=|angleOAC|=(180^o-162^o):2=18^o:2=9^o` 

 

Odcinek CB jest średnicą okręgu, więc kąt COB jest kątem półpełnym (ma miarę 180 stopni). Obliczamy miarę kąta AOB:

`|angleAOB|=180^o-162^o=18^o` 

 

Odcinki OB i OA to promienie okręgu, więc trójkąt OAB jest równoramienny. Obliczamy miary kątów przy podstawie w tym trójkącie: 

`|angleOAB|=|angleOBA|=(180^o-18^o):2=162^o :2=81^o` 

 

Wyznaczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC:

`|angleA|=|angleOAC|+|angleOAB|=9^o +81^o=90^o ` 

`|angleB|=|angleOBA|=81^o` 

`|angleC|=|angleOCA|=9^o`