Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: A. Drążek, E.Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania: 2016
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku

7 Zadanie
8 Zadanie
9 Zadanie
10 Zadanie
11 Zadanie
12 Zadanie

 

 

 

 

Czworokąt ABCD do kwadrat (bo ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Odcinek AC to przekątna kwadratu. Możemy obliczyć jej długość korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC:

 

 

 

(Jeśli pamiętasz wzór na długość przekątnej kwadratu d=a√2, to mogłeś od razu napisać, jaką długość ma ta przekątna) 

 

 

 

Trójkąt AOS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (ponieważ ma kąty 90°, 45°, 45°)
Zatem odcinki AO i OS są równe, długość odcinka AS możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

  

 

 

 

Znamy już długość krawędzi bocznej oraz krawędzi podstawy tego ostrosłupa, więc możemy policzyć wysokość ściany bocznej (z twierdzenia Pitagorasa)

 

 

 

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej (4 pola trójkątów równoramiennych)

   

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym (ponieważ ostrosłup jest prawidłowy trójkątny). Punkt O to punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC, dzieli on każdą z wysokości w stosunku 1:2. Odcinek AE jest wysokością, dwie pozostałe wysokości także mają długość 6 cm. 

Możemy zatem zapisać: 

 

 

 

Trójkąt DOS to trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°. W takim trójkącie długości boków można wyrazić za pomocą wzorów, co obrazuje poniższy rysunek:

Zastosujmy te wzory do trójkąta DOS

 

 

 

 

 

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OBS, możemy policzyć długość krawędzi bocznej BS: 

 

 

 

 

 

 

Dalej będziemy chcieli policzyć wysokość ściany bocznej (także z twierdzenia Pitagorasa), jednak wcześniej potrzebna nam jest długość krawędzi podstawy. 

Znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a, wiemy też, jaką długość ma ta wysokość u nas w zadaniu, możemy więc zapisać: 

 

 

 

 

Teraz narysujmy ścianę boczną i zapiszmy znane wymiary:  

 

 

 

 

 

`h=sqrt16=4\ cm` 

 

Obliczamy pole boczne (pola 3 jednakowych trójkątów równoramiennych)

`P_b=3*1/strike2^2*strike4^2\ cm*4sqrt3\ cm=` `24sqrt3\ cm^2` 

 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=((4sqrt3)^2sqrt3)/4=` `(strike4^1*4*3sqrt3)/strike4^1=` `12sqrt3\ cm^2` 

 

 

`P_c=24sqrt3\ cm^2+12sqrt3\ cm^2=36sqrt3\ cm^2`