Matematyka
 
Matematyka wokół nas 2 (Podręcznik)
 
Autorzy: A. Drążek, E.Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania: 2016
Ile przekątnych można poprowadzić w graniastosłupie 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Ile przekątnych można poprowadzić w graniastosłupie

5 Zadanie
6 Zadanie
7 Zadanie

Najpierw zastanówmy się, ile przekątnych ma n-kąt (figura płaska). 

n-kąt ma n wierzchołków, z każdego wierzchołka można poprowadzić odcinek będący przekątną do n-3 wierzchołków (mamy n wierzchołków, nie możemy poprowadzić przekątnej do wierzchołka, w którym aktualnie jesteśmy i do 2 sąsiadów - bo to byłyby boki a nie przekątne). 

Zatem z każdego z n wierzchołków prowadzimy n-3 przekątne.

Mamy n(n-3) przekątnych. 

Jednak zwróć uwagę, że przekątna poprowadzona z punktu A do punktu B, to to samo, co przekątna poprowadzona z punktu B do punktu A (mówiąc inaczej - odcinek AB to to samo, co odcinek BA), dlatego każda z naszych przekątnych w ten sposób została policzona dwukrotnie, więc musimy podzielić przez 2. 

Ostatecznie mamy więc, że każdy n-kąt ma następującą liczbę przekątnych:   

 

Przekątne graniastosłupa są powiązane z przekątnymi podstawy. 

Dokładniej mówiąc, z każdą przekątną podstawy związane są dwie przekątne graniastosłupa, co pokazuje rysunek:

 

Dlatego graniastosłup, którego podstawą jest n-kąt ma   przekątnych.