Matematyka
 
Matematyka z plusem 2 2008 (Zbiór zadań)
 
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania: 2008

Podstawy ostrosłupów, których siatki narysowano poniżej, są wielokątami foremnymi.

10 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku 6. Na rysunku mamy podane wszystkie długości krawędzi bocznych ostrosłupa.

Suma długości krawędzi tego ostrosłupa

b) W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny o boku 5. Na rysunku mamy podane wszystkie długości krawędzi bocznych ostrosłupa.

Suma długości krawędzi tego ostrosłupa

c) W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny o boku 4. Jedna z krawędzi bocznej ostrosłupa ma długość 3. Dwie pozostałe krawędzie boczne mają tę samą długość, która jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4. Liczymy zatem z tw. Pitagorasa

Suma długości krawędzi tego ostrosłupa

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 10 cm, a krawędź postawy 12 cm.

11 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 8√ 6

12 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

W podstawie ostrosłupa jest sześciokąt foremny. Długość krawędzi podstawy oznaczmy przez .

Każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o podstawie   oraz wysokości długości 8.

Mamy zatem

Możemy teraz policzyć pole podstawy ostrosłupa

`P_p=6*(a^2sqrt3)/4=3((2sqrt6)^2sqrt3)/2`

`P_p=3*(24sqrt3)/2=36sqrt3`

Pole boczne ostrosłupa to suma pól sześciu ścian bocznych

`P_b=6*8sqrt6=48sqrt6`

Liczymy pole powierzchni tego ostrosłupa

`P=P_p+P_b=36sqrt3+48sqrt6`

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego dziesięciokątnego ma 10 cm 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego dziesięciokątnego ma 10 cm

13 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Graniastosłup i ostrosłup są prawidłowe i mają jednakowe pola powierzchni całkowitej

14 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

Obliczmy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. W podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku 6cm, a ściany boczne są prostokątami o wymiarach 6cm x 2cm.

Mamy zatem

`P=2*P_p+P_b=2*(6^2)+4*(6*2)=2*36+4*12=72+48=120cm^2`

Skoro graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe pola powierzchni całkowitej, to pole powierzchni ostrosłupa również wynosi `120 cm^2` .

Przez `P_(sb)`   oznaczmy pole ściany bocznej ostrosłupa. Każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o podstawie 6cm.

W podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku 6 cm, zatem pole podstawy ostrosłupa wynosi `P_p=6^2=36cm^2.`

Stąd mamy

`P=P_p+4*P_(sb)`

`120=36+4P_(sb)`

`4P_(sb)=84`

`P_(sb)=21cm^2`

Możemy teraz policzyć wysokość h ściany bocznej ostrosłupa. Każda ze ścian bocznych jest trójkątem równoramiennym o podstawie 6 cm.

`P_(sb)=1/2*6*h`

`21=3h`

`h=7cm`

Przez `b`   oznaczmy krawędź boczną ostrosłupa. Wiemy, że wysokość ściany bocznej ostrosłupa dzieli podstawę trójkąta równoramiennego (długości 6 cm) na połowę. Zatem korzystając z tw. Pitagorasa

`b^2=7^2+3^2`

`b^2=49+9=58`

`b=sqrt58cm`

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa wynosi `sqrt(58)cm.`

 

 

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe polu ściany bocznej

15 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Oblicz objętość ostrosłupa prawidowego: a) czworokątnego o wysokości 12 dm

16 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) Mamy wysokość ostrosłupa `H=12 dm = 1,2 m = 0, 0012 km `

Krawędź podstawy ostrosłupa wynosi `a = 2 km.` W podstawie ostrosłupa jest kwadrat.

Mamy `V=1/3*P_p*H`

`P_p=a^2=2^2=4km^2`

Zatem `V=1/3*P_p*H=1/3*4*0,0012=0,0016km^3`

b) Mamy wysokość ostrosłupa `H=9cm= 90 mm `

Krawędź podstawy ostrosłupa wynosi `a = 8mm.`   W podstawie ostrosłupa jest trójkąt równoboczny.

Mamy `V=1/3*P_p*H`

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(8^2sqrt3)/4=(64sqrt3)/4=16sqrt3mm^2`

Zatem `V=1/3*P_p*H=1/3*16sqrt3*90=480sqrt3mm^3`

c)  Mamy wysokość ostrosłupa `H=3 mm=0,003m `

Krawędź podstawy ostrosłupa wynosi `a = 4m.`   W podstawie ostrosłupa jest sześciokąt foremny.

Mamy `V=1/3*P_p*H`

`P_p=6*(a^2sqrt3)/4=3(4^2sqrt3)/2=3*(16sqrt3)/2=24sqrt3m^2`

Zatem `V=1/3*P_p*H=1/3*24sqrt3*0,003=0,024sqrt3m^3`