Matematyka
 
Matematyka z plusem 2 2008 (Zbiór zadań)
 
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania: 2008

Narysuj trójkąt, w którym najdłuższy bok ma 6 cm, a dwa kąty mają podane miary

19 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie
Narysuj czworokąt ABCD, w którym boki AB i AD są prostopadłe oraz |AB| = |CD| = 5 cm 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Narysuj czworokąt ABCD, w którym boki AB i AD są prostopadłe oraz |AB| = |CD| = 5 cm

20 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

  Najpierw należy skonstruować zadany czworokąt ABCD.

Najpierw rysujemy odcinki |AB|=5 cm oraz |AD|= 6 cm do siebie prostopadłe.

Następnie łączymy punkty D i B. Mamy odcinek DB. Konstrukcyjnie wyznaczamy trójkąt BCD, taki, że |DC| = 5cm, |BC|= 4 cm.

Konstrukcja trójkąta BCD:

Z punktu D zakreślamy okrąg o promieniu 5 cm i z punktu B okrąg o promieniu 4 cm. W przecięciu tych okręgów mamy wierzchołek C. Punkt C łączymy z punktami D i B. Mamy trójkąt ABC.

Mamy czworokąt ABCD o zadanej długości boków.

Aby wyznaczyć środek okręgu wpisanego w ten czworokąt, trzeba wyznaczyć dwie dwusieczne dwóch kątów czworokąta.

Konstrukcja dwusiecznej kąta przy wierzchołku A:

Z wierzchołka A danego kąta dowolnym promieniem zakreślamy łuk, który przetnie ramiona kąta w dwóch punktach.

Z tych punktów  większą rozwartością cyrkla zakreślamy łuki, które przetną się w punkcie E.

Półprosta AE jest dwusieczną.

Konstrukcję powtarzamy dla kąta przy wierzchołku B.

Środek okręgu wpisanego w czworokąt leży na przecięciu dwusiecznych.

Teraz należy wyznaczyć promień okręgu wpisanego w czworokąt.

Wystarczy wyznaczyć prostą prostopadłą do odcinka AB, przechodzącą przez punkt O.

Z punktu O   dowolnym promieniem zakreślamy dwa łuki na odcinku AB. Z punktów przecięcia łuków z odcinkiem AB tą samą rozwartością cyrkla kreślimy dwa łuki po drugiej stronie niż punkt O. Punkt przecięcia tych łuków łączymy z punktem O. Punkt przecięcia odcinka AB oraz prostej prostopadłej nazwijmy G. Odcinek OG jest promieniem okręgu wpisanego w czworokąt.

Zakreślamy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OG.

 

a) W trójkąt o obwodzie 12 cm wpisano okrąg o promieniu 1 cm.

21 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Narysuj okrąg i posługując się kątomierzem, wpisz w niego dziesięciokąt foremny

22 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu.

Łączymy środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu, który nazwiemy A. Odcinek OA jest promieniem okręgu. Za pomocą kątomierza odmierzamy na odcinku OA kąt 36 stopni. Punt przecięcię ramienia kąta i okręgu oznaczamy jako B. 

Za pomocą kątomierza znowu na odcinku OB odmierzamy kąt 36 stopni. Punkt przecięcia ramienia kąta z okręgiem oznaczmy jako C.

I tak czynność tę powtarzamy do momentu wykreślenia dziesięciu punktów na okręgu.

Po połączeniu punktów mamy dziesięciokąt foremny.

 

f

 

 

Skonstruuj dwunastokąt foremny, którego najdłuższa przekątna

23 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Jakie wielokąty foremne można ułożyć z jednakowych trójkątów równobocznych

24 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

Skoro wielokąt foremny ma być ułożony z niezachodzących trójkątów równobocznych, zatem miara jego kąta wewnętrznego musi być wielokrotnością 60 stopni.

Kąt wewnętrzny n-kąta foremnego liczymy ze wzroru

Zatem miara kąta n-kąta foremnego ułożonego z trójkątów równobocznych może wynosić 60 stopni dla n=3 lub 120 stopni dla n=6.

Z jednakowych trójkątów rónobocznych można ułożyć jedynie trójkąt równoboczny i szeciokąt foremny, tak aby figury były wielokątami foremnymi.

Odpowiedź:

Trójkąt równoboczny, sześciokąt.

Podaj, jaką miarę ma kąt wewnętrzny a) pięciokąta foremnego

25 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Ustal, ile boków ma wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę

26 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

Korzystamy ze wzoru na kąt wewnętrzny n-kąta foremnego

 a)

b)

c)

 

Odpowiedź:

a) 9

b) 10

c) 18

Ustal, ile przekątnych o różnych długościach a) sześciokąt foremny

27 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

a) Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o boku 6 cm.

28 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) Mamy . Sześciokąt foremny o boku   szkłada się z sześciu trójkątów równobocznych o boku . Zatem dłuższa przekątna sześciokąta ma miarę

Ktrótsza przekątna sześciokąta foremnego jest podstawą trójkąta równoramienngo o ramionach   oraz kącie przy wierzchołku o mierze 120 stopni. Wyskość tego trójkąta poprowadzona do podstawy dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach ostrych miary 30 i 60 stopni. Obliczymy przekątną sześciokąta korzystając z własności powyższego trójkąta prostokątnego. Mamy , zatem , stąd . Dalej mamy

 

b) Sześciokąt foremny o boku   szkłada się z sześciu trójkątów równobocznych o boku . Aby obliczyć obwód, należy obliczyć dłogośc boku .

Mamy `P=6sqrt(3) ` oraz `P=6*((a^2sqrt(3))/4)` , czyli 

`6sqrt(3)=(3a^(2)sqrt(3))/2`

`12=3a^2`

`a^2=4`

`a=2`

Stąd `Obw=6a=6*2=12 cm`

Odpowiedź:

a) `12 cm, 6sqrt(3) cm`

`b) 12 cm`