Matematyka
 
Matematyka z plusem 2 2008 (Zbiór zadań)
 
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania: 2008

Kuba narysował okrąg, ale nie zaznaczył jego środka. Jak może konstrukcyjnie znaleźć środek?

6 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

Rysujemy dowolną cięciwę   AB .

Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 90 stopni.

Punkt przecięcia ramiona kąta z okręgiem oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC.   Odcinek BC jest przekątną trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg, zatem środek okręgu leży w połowie odcinka BC.

Teraz wystarczy wykreślić symetralną przeciwprostokątnej BC.

Konstrukcja symetralnej:

Zakreślamy cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach C oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka BC. Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.

Prowadzimy prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.

Na przecięciu odcinka BC i symetralnej mamy środek okręgu opisanego na trójkącie, który oznaczamy literą O.

 

Narysuj dowolny okrąg i cięciwę AB, która nie jest średnicą 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Narysuj dowolny okrąg i cięciwę AB, która nie jest średnicą

7 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Narysowane proste są styczne do okręgów

8 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

W rozwiązaniu będziemy korzystać z następującej własności:

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

a) Mamy `90+alpha+40=180` , zatem

`alpha=180-130=50`  

 

b) Mamy `alpha+90+90+80=360` , zatem

`alpha=360-260=100`  

 

c) Zaznaczmy promień łączący punkt styczności ze środkiem okręgu (na rysunku jest to odcinek OA zaznaczony kolorem niebieskim). Powstały w ten sposób trójkąt AOC jest równoramienny (odcinki OA oraz OC są promieniami okręgu, więc mają taką samą długość). Jeżeli jest to trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie mają taką samą miarę. Dlatego kąt OAC ma miarę `alpha`   , bo kąt OCA ma miarę   `alpha` .

Korzystając z własności, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, kąt OAB ma miarę 90 °.

   Thumb zad8  str64 c

Rozpatrzmy trójkąt CAB. Kąt BCA ma miarę  `alpha`  , kąt CBA ma miarę 20 °, a kąt CAB ma miarę `(alpha+90^o)`  

Ponieważ w trójkącie suma miar kątów wynosi 180 °, więc:

  `alpha+20^o +alpha+90^o=180^o`  

`2alpha+110^o=180^o`  

`2alpha=70^o`

`alpha=35^o`  

Narysowana prosta jest styczna do okręgu

9 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie

Narysowana prosta AB jest styczna do okręgu o promieniu 4cm. Pole trójkąta ABC jest równe 80 cm²

10 Zadanie
Kopiuj link
Oceń to zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

Skoro promień okręgu ma długość 4 cm, zatem jego średnica ma długość d=8 cm. Zauważmy, iż średnica okręgu jest wysokością trójkąta ABC, mamy zatem

`P=1/2 |AB|*d`

`80=1/2|AB|*8`

`80=4|AB|`

`|AB|=20 cm`

Długość odcinka AB wynosi 20 cm.

Odpowiedź:

20 cm

Narysuj dowolny okrąg. Skonstruuj dwie styczne do okręgu

11 Premium
Kopiuj link
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*
To rozwiązanie również znajduje się na naszej stronie!

uzyskaj dostęp do tego oraz setek innych zadań, które dla Was rozwiązaliśmy

Lub wykup to zadanie