Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania: 2008
Oblicz obwody narysowanych trapezów. 4.3 gwiazdek na podstawie 10 opinii

Oblicz obwody narysowanych trapezów.

41 Zadanie
42 Zadanie
1 Zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) Rozważmy trapez ABCD. Wiemy, że wysokość trapezu CE wynosi 3 oraz trójkąt CDE jest równoramienny (kąty 90,45,45 stopni), zatem odcinek ED ma także długość 3. Ponadto z własności trójkąta prostokątnego o obu kątach ostrych 45 stopni 

Rozważmy trójkąt ABC. Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 60 i 30 stopni wiemy, że , zatem , czyli także

b) Rozważmy trapez ABCD. Kąt BCA ma miarę 30 stopni (30=180-120-30), czyli kąt wewnętrzny trapezu przy wierzchołku C wynosi 120 stopni (120=90+30). Zatem trapez ABCD jest równoramienny i ramię AB ma taką samą długość jak ramię CD, czyli 3.

Trójkąt ABC także jest równoramienny (kąty 120,30,30 stopni), zatem   .

Kąty przy podstawie trapezu będą miały miarę po 60 stopni każdy  (60=180-120), ponieważ w trapezie równoramiennym suma kątów wewnętrznych przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180 stopni. Zatem trójkąt ACD ma kąty ostre 30 i 60 stopni. Z własności trójkąta prostokątnego ACD o kątach ostrych 30 i 60 stopni  mamy

c) Rozważmy trapez ABCD.  Z własności trójkąta prostokątnego ACD  o kątach ostrych 30 i 60 stopni wiemy, że `|AD|=2|CD|=2*4=8` .   

Przypatrzmy się teraz trójkątowi CDF. On także jest prostokątny, a jego kąty ostre mają miarę 60 i 30 stopni. Z własności takiego trójkąta wiemy, że `|CD|=2|FD|, ` stąd  `|FD|=4/2=2` oraz `|FC|=|FD|sqrt(3)=2sqrt(3).`   Zatem długość odcinka BE także wynosi `2sqrt(3).` Trójkąt ABE jest równoramienny (kąty 90,45,45 stopni), stąd `|AE|=|BE|=2sqrt(3), |AB|=|AE|sqrt(2)=2sqrt(3)sqrt(2)=2sqrt(6). `  Długość odcinka AB policzyliśmy korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45 i 45 stopni.

Pozostaje policzyć długość ramienia BC. Mamy

`|BC|=8-2-2sqrt(3)=6-2sqrt(3).`

`Obw=8+6-2sqrt(3)+4+2sqrt(6)=18-2sqrt(3)+2sqrt(6).`