Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Małgorzata Dobrowolska
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania: 2010
Który z narysowanych graniastosłupów prawidłowych ma największe, a które najmniejsze pole powierzchni? 4.5 gwiazdek na podstawie 14 opinii

Który z narysowanych graniastosłupów prawidłowych ma największe, a które najmniejsze pole powierzchni?

20 Zadanie
21 Zadanie
22 Zadanie
1 Zadanie
2 Zadanie
3 Zadanie

Pole powierzchni obliczamy korzystając ze wzoru:

 

gdzie Pp- pole podstawy, Pb - pole boczne

 

 

a) Rysunek pomocniczy:

 

 Aby obliczyć długość krawędzi podstawy a (na rysunku zaznaczona kolorem niebieskim) korzystamy z własności trójkąta o kątach 30 o ,60 o , 90 o.

 

Usuwamy niewymierność z mianownika:

 

 Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawy to trójkąty równoboczne.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku długości 3 3:

    

Pole boczne składa się z 3 prostokatów o wymirach 9 x 3 3:

 

 Obliczamy pole calkowite graniastosłupa:

  

 

 

b)  Rysunek pomocniczy:

 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 45 o  ,45 o  i 90 o przekątna podstawy ma taką samą długośc, jak wysokość graniastosłupa (zaznaczone kolorem czerwonym).

Obliczamy długość przekątnej podstawy (d) , a tym samym wysokości graniastosłupa (H):

  

i tym samym:

 

 Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawy to kwadraty.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole kwadratu o bokach długości 3 2:

 

Pole boczne składa się z 4 prostokatów o wymirach 6 x 3 √2 :

 Obliczamy pole calkowite graniastosłupa:

 

 

 

c)  Rysunek pomocniczy:

 

Zauważmy, że odcinek zaznaczony na zielono jest równy dwóm wysokościom trójkąta równobocznego o bku długości 2 3.

Stąd długość zielonego odcinka to:

 

 Aby obliczyć długość wysokości graniastosłupa (H) zaznaczonej kolorem czerwonym korzystamy z własności trójkąta o kątach 30 o  ,60 o , 90 o

  

 Graniastosłup jest prawidłowy, więc jego podstawy to sześciokąty foremne.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole sześciokąta foremnego o boku długości 2 3:

   

Pole boczne składa się z 6 prostokatów o wymirach 2 3 x 6 3:

 Obliczamy pole calkowite graniastosłupa:

 

 

Odp:  Największe pole ma 3 graniastosłup a najmniejsze 2 graniastosłup.