Matematyka
 
Matematyka poznać. zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik)
 
Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania: 2015
Suma (n-1)² + n² + ... 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Podstawmy kilka pierwszych dodatnich liczb naturalnych do podanego wyrażenia.

Dla n=1:

 

Dla n=2:

 

Dla n=3:

 

 

Podstawiając do wyrażenia kolejne dodatnie liczby naturalne otrzymujemy zarówno liczby parzyste, jak i nieparzyste.

Dla n=1, n=2 oraz n=3 otrzymane wyniki nie są liczbami podzielnymi przez 3, więc nie dla każdego dodatniego naturalnego n, otrzymujemy liczbę, która jest podzielna przez 3.

Dla n=1, n=2 oraz n=3 otrzymane wyniki są większe od 4. 

 

Sprawdźmy, czy dla każdego dodatniego n N zadana suma jest większa od 4.

Rozpiszmy składniki sumy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

 

Zakładamy, że n N +  .Zastanawiamy się czy zadana suma jest większa od 4.

 

 

 

 

Ostatnia nierówność jest spełnona dla dowolnego n N + , więc dla takich n spełniona jest również pierwsza nierówność: 3n 2 +2>4.

Stąd suma (n-1) 2 +n 2 +(n+1) 2 jest dla każdego n N +  liczbą większą od 4.

Odp: D