Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż nierówność 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii

W każdym przykładzie najpierw zapiszemy wielomian znajdujący się po lewej stronie nierówności w postaci iloczynowej. Następnie naszkicujemy wykres wielomianu, z którego odczytamy zbiór rozwiązań nierówności. Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to rozpoczynamy rysowanie od prawej górnej strony, a jeśli jest ujemny to rozpoczynamy od prawej dolnej strony. Wykres zmienia znak tylko w pierwiastkach krotności nieparzystej. Oznacza to, że w pierwiastku krotności jeden wykres "przechodzi" na drugą stronę osi OX, a w pierwiastku krotności dwa wykres "odbija się" od osi OX.  

 

 

 

 

 

 

Pierwiastki wielomianu to 0, -5 oraz 4. Wszystkie te pierwiastki mają krotność 1.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 

 

    

 

 

 

 

 

 

Pierwiastki wielomianu to 0, 1 oraz 2. Wszystkie te pierwiastki mają krotność 1.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwiastki wielomianu to 0 oraz 3. Oba te pierwiastki mają krotność 2. 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że współczynnik kwadratowy ma ujemną deltę - nie ma pierwiastków. Jedynym pierwiastkiem wielomianu w jest 0 (krotność 2). Moglibyśmy rozwiązać ten podpunkt tak, jak poprzedni - narysować wykres i odczytać zbiór rozwiązań. Warto jednak zauważyć, że czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków, a współczynnik przy x 2 jest dodatni, więc parabola znajduje się w całości nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc bez obaw podzielić nierówność przez czynnik kwadratowy - jest on dodatni, więc nie zmienia się znak nierówności a my mamy pewność, że nie dzielimy przez zero. 

 

 

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

 

 

 

 

 

`w(x)=x^3+4x^2+x+4=x^2(x+4)+(x+4)=(x+4)#(#((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1=))_(=0-4<)`

Rozumowanie przebiega podobnie jak w podpunkcie d). Czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków, a współczynnik przy x 2 jest dodatni, więc parabola znajduje się w całości nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc bez obaw podzielić nierówność przez czynnik kwadratowy - jest on dodatni, więc nie zmienia się znak nierówności a my mamy pewność, że nie dzielimy przez zero. 

`(x+4)(x^2+1)>0\ \ \ \ |:(x^2+1)>0`  

`x+4>0\ \ \ |-4`  

`x> -4`  

`ul(ul(x in (-4;\ +infty)))`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

 

 

`f)`  

`#underbrace((-x^3+3x^2+2x-6))_(w(x))<=0`   

`w(x)=-x^3+3x^2+2x-6=x^2(-x+3)+2(-x+3)=(-x+3)#(#underbrace((x^2\ \ +\ \ 2))_(Delta=0^2-4*1*2=))_(=0-8<0)`

Czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków, a współczynnik przy x 2 jest dodatni, więc parabola znajduje się w całości nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc bez obaw podzielić nierówność przez czynnik kwadratowy - jest on dodatni, więc nie zmienia się znak nierówności a my mamy pewność, że nie dzielimy przez zero. 

`(-x+3)(x^2+2)<=0\ \ \ \ \ |:(x^2+2)>0`

`-x+3<=0\ \ \ |-3`   

`-x<=-3\ \ \ |*(-1)`  

`x>=3`  

`ul(ul(x in <<3;\ +infty)))`  

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

 

 

`g)`  

`#underbrace(x^5-x^3-x^2+1)_(w(x))>=0`  

 

`w(x)=x^5-x^3-x^2+1=x^3(x^2-1)-(x^2-1)=(x^2-1)(x^3-1)=(x-1)(x+1)(x-1)#(#underbrace((x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*1*1=))_(=1-4<0)=(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1)`  

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. 

Pierwiastki wielomianu w to 1 (krotność 2) oraz -1 (krotność 1). 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-1;\ +infty)))`  

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

 

 

`h)`  

`#underbrace(-x^5+3x^3-8x^2+24)_(w(x))<0`  

 

`w(x)=-x^5+3x^3-8x^2+24=x^3(-x^2+3)+8(-x^2+3)=(-x^2+3)(x^3+8)=-(x^2-3)(x^3+8)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-(x-sqrt3)(x+sqrt3)(x+2)#(#underbrace((x^2-2x+4))_(Delta=(-2)^2-4*1*4=))_(=4-16<0)`  

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. 

Pierwiastki wielomianu w to √3, -√3 oraz -2. Wszystkie te pierwiastki mają krotność 1.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

 

    

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-2;\ -sqrt3)uu(sqrt3;\ +infty)))`