Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Przeczytaj podane w ramce definicje 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

 

 

 

Zauważmy, że średnią harmoniczną liczb a i b można zapisać w sposób równoważny:

 

 

Z założenia wiadomo, że zachodzi równość średnich:

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą równością:

 

`a+b=2sqrt(ab)\ \ \ \ |-2sqrt(ab)`  

`a-2sqrt(ab)+b=0`  

`sqrta^2-2*sqrta*sqrtb+sqrtb^2=0`  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat róznicy możemy zapisać:

`(sqrta-sqrtb)^2=0`  

Kwadrat liczby jest równy zero, tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa zero:

`sqrta-sqrtb=0\ \ \ |+sqrtb`  

`sqrta=sqrtb`  

Liczby a i b są dodatnie (z założenia); dwa pierwiastki kwadratowe są sobie równe, jeśli liczby pod pierwiastkiem są sobie równe:

`a=b`  

 

 

Teraz zajmiemy się drugą równością.

`sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)\ \ \ \ |*(a+b)`  

`(a+b)sqrt(ab)=2ab`  

Rozpisując, dążymy do uzyskania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

`asqrt(ab)+bsqrt(ab)=2ab`  

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(ab*ab)`   

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(a*b*ab)`    

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(a*b*sqrt(ab)*sqrt(ab))`   

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(asqrt(ab)*bsqrt(ab))`  

`sqrt(asqrt(ab))^2-2*sqrt(ab)*sqrt(ab)+sqrt(bsqrt(ab))^2=0`  

`(sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab)))^2=0`  

`sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab))=0`  

`sqrt(asqrt(ab))=sqrt(bsqrt(ab))`  

Podobnie jak poprzednio, możemy podnieść równość obustronnie do kwadratu, ponieważ przyjmuje ona wartości dodatnie. 

`asqrt(ab)=bsqrt(ab)\ \ \ \ |-bsqrt(ab)`  

`asqrt(ab)-bsqrt(ab)=0`  

`sqrt(ab)(a-b)=0`  

Pierwiastek z iloczynu liczb a i b jest dodatni (bo liczby a i b są dodatnie), więc nie przyjmuje wartości zero. Stą:

`a-b=0\ \ \ |+b`  

`a=b`  

 

Obie rozważane równości dały równość z tezy, co kończy dowód. 

 

 

`b)`  

  `"założenia:"\ \ \ a,\ b>0,\ \ \ aneb`    

`"teza:"\ \ \ 2/(1/a+1/b)<sqrt(ab)<(a+b)/2`  

`"dowód:"`  

Najpierw pokażemy, że zachodzi pierwsza z nierówności, czyli:

`2/(1/a+1/b)<sqrt(ab)`  

Musimy więc pokazać, że zachodzi nierówność:

`2/(1/a+1/b)-sqrt(ab)<0`  

 

Zbadajmy więc znak wyrażenia (wykorzystamy inną postać średniej harmonicznej, którą wyprowadziliśmy w podpunkcie a). 

`2/(1/a+1/b)-sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)-sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)-((a+b)sqrt(ab))/(a+b)=(2ab-(a+b)sqrt(ab))/(a+b)=(-asqrt(ab)+2ab-bsqrt(ab))/(a+b)=-(asqrt(ab)-2ab+bsqrt(ab))/(a+b)=`  

Skorzystamy z równości, którą wykorzystywaliśmy w podpunkcie a (przy rozpisywaniu drugiej równości).

`=-((sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab)))^2)/(a+b)<0`  

Licznik powyższego ułamka jest kwadratem pewnego wyrażenia, więc przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (nie przyjmuje wartości 0, bo liczby a i b były różne). Mianownik to suma dwóch liczb dodatnich (a i b), więc przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Stąd ułamek przyjmuje wartości dodatnie, ale stoi przed nim minus, więc całe wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (mniejsze lub równe 0). W ten sposób udowodniliśmy, że dla dwóch różnych liczb dodatnich średnia harmoniczna jest mniejsza od średniej geometrycznej. 

 

Teraz udowodnimy, że zachodzi druga z nierówności, czyli:

`sqrt(ab)<(a+b)/2`  

 

Musimy więc pokazać, że zachodzi nierówność:

`sqrt(ab)-(a+b)/2<0`  

 

 

Zbadajmy więc znak wyrażenia:

`sqrt(ab)-(a+b)/2=(2sqrt(ab))/2-(a+b)/2=(2sqrt(ab)-(a+b))/2=(2sqrtab-a-b)/2=-(-2sqrt(ab)+a+b)/2=-(a-2sqrt(ab)+b)/2=`  

`=-1/2(a-2sqrt(ab)+b)=-1/2(sqrta^2-2*sqrta*sqrtb+sqrtb^2)=-1/2(sqrta-sqrtb)^2<0`  

Liczby a oraz b są różne, więc różnica ich pierwiastków jest różna od zera. Jeśli podniesiemy liczbę niezerową do kwadratu (niezależnie od tego, czy ta liczba jest dodatnia czy ujemna), to otrzymamy liczbę dodatnią. Jeśli pomnożymy ją przez minus jedną drugą, to otrzymamy liczbę ujemną. W ten sposób udowodniliśmy, że dla dwóch różnych liczb dodatnich średnia geometryczna jest mniejsza od średniej arytmetycznej.