Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Zbiory A, B i C są skończone 4.86 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

Jeżeli iloczyn zbiorów jest zbiorem pustym, to te zbiory nie mają żadnych wspólnych elementów. Oznacza to, że żaden element zbioru A nie będzie znajdował się w zbiorze B oraz żaden element zbioru B nie będzie znajdował się w zbiorze A. Sumując elementy zbiorów A i B, każdy element będzie liczony tylko raz (bo iloczyn jest zbiorem pustym), więc liczba elementów sumy zbiorów A i B jest równie sumie liczby elementów zbioru A i liczby elementów zbioru B. 

 

 

 

Jeśli zbiory A i B mają iloczyn różny od zbioru pustego, to dodając liczbę elementów zbioru A i liczbę elementów zbioru B elementy należące do obu zbiorów są liczone podwójnie (raz są liczone jako elementy zbioru A, a raz jako elementy zbioru B). Dlatego musimy odjąć liczbę elementów należących do iloczynu zbiorów A i B. 

Możemy rozwiązać to zadanie na diagramie. Będziemy oznaczać plusami i minusami. 

Krok po kroku rozpiszemy prawą stronę równości:

 

 

Zaznaczmy plusy w tych częściach diagramu, które wchodzą w skład zbioru A. 

Następnie zaznaczmy plusy w tych częściach diagramu, które wchodzą w sklad zbioru B. 

Następnie mamy odjąć te części, które należą do iloczynu zbiorów A i B, zaznaczmy więc minus w odpowiednim miejscu. 

Ostatecznie, każda część diagramu została policzona tylko raz (plus z minusem dają zero, w środkowej części mamy 2 plusy i 1 minus, czyli 1 plus), więc otrzymaliśmy sumę zbiorów A i B. 

Równość jest prawdziwa. 

 

 

Zauważmy, że korzystając z tego podpunktu łatwo można uzasadnić podpunkt a). Jeśli iloczyn zbiorów A i B jest zbiorem pustym, to liczba elementów tego iloczynu wynosi zero, więc wtedy:

 

 

 

 

Podobnie jak poprzednio, rozwiążemy zadanie na diagramie. 

Krok po kroku rozpiszemy prawą stronę równości:

 

 

Zaznaczmy plusy w tych częściach diagramu, które wchodzą w skład zbioru A. 

Następnie zaznaczmy plusy w tych częściach diagramu, które wchodzą w sklad zbioru B. 

Zaznaczmy plusy (na zielono) w tych częściach diagramu, które wchodzą w sklad zbioru C. 

Następnie mamy odjąć te części, które należą do iloczynu zbiorów A i B, zaznaczmy więc minusy (na czerwono) w odpowiednim miejscu. 

Następnie mamy odjąć te części, które należą do iloczynu zbiorów A i C, zaznaczmy więc minusy (na fioletowo) w odpowiednim miejscu. 

Następnie mamy odjąć te części, które należą do iloczynu zbiorów B i C, zaznaczmy więc minusy (na żółto) w odpowiednim miejscu. 

Na końcu należy dodać jeszcze część należącą do iloczynu zbiorów A, B i C. Zaznaczamy więc plus (na granatowo) w odpowiednim miejscu. 

Ostatecznie, każda część diagramu została policzona tylko raz (plus z minusem dają zero):

Otrzymaliśmy więc sumę zbiorów A, B i C. 

Równość jest prawdziwa.