Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż nierówność. 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Skorzystamy z własności podanych na stronie 90 w podręczniku. 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od zera na osi liczbowej jest większa od 1 i zarazem mniejsza od 5. 

 

 

 

 

 

 

   

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Szukamy rozwiązań drugiej nierówności. 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

`-5<x<-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<-9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x>1`                 

`ul(ul(x in (-infty;\ -9)uu(-5;\ -3)uu(1;\ +infty)))` 

 

 

`d)` 

`||2x-1|+2|>=3` 

`|2x-1|+2<=-3\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x-1|+2>=3\ \ \ |-2` 

`|2x-1|<=-5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x-1|>=1`  

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Szukamy rozwiązań drugiej nierówności. 

` \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-1<=-1\ \ \ |+1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ 2x-1>=1\ \ \ |+1` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x<=0\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ 2x>=2\ \ \ |:2` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x>=1` 

`ul(ul(x in (-infty;\ 0>>uu<<1;\ +infty)))` 

 

 

`e)` 

`||2-x|+5|<=6` 

`-6<=|2-x|+5<=6\ \ \ |-5` 

`-11<=|2-x|<=1` 

Lewa skrajna nierówność jest zawsze prawdziwa, ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne (więc w szczególności zawsze będzie większa lub równa -11), dlatego możemy ją opuścić.

`|2-x|<=1` 

`-1<=2-x<=1\ \ \ |-2` 

`-3<=-x<=-1\ \ \ |*(-1)` 

Należy pamiętać, że przy mnożeniu przez liczbę ujemną zmienia się kierunek nierówności.

`3>=x>=1` 

`1<=x<=3` 

`ul(ul(x in <<1;\ 3>>))` 

 

 

 

`f)` 

`|7-|2x+1||>=7` 

`7-|2x+1|<=-7 \ \ \ |-7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7-|2x+1|>=7\ \ \ |-7`      

`-|2x+1|<=-14\ \ \ |*(-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -|2x+1|>=0\ \ \ |*(-1)`   

`|2x+1|>=14\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x+1|<=0`       

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, dlatego druga nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy lewa strona przyjmie wartość zero. 

`2x+1<=-14\ \ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ 2x+1>=14\ \ \ |-1\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x+1|=0` 

`2x<=-15\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 2x>=13\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x+1=0\ \ \ |-1` 

`x<=-7,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x>=6,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x=-1\ \ \ |:2` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-0,5` 

`ul(ul(x in (-infty;\ -7,5>>uu{-0,5}uu<<6,5;\ +infty)))`