Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż nierówność 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=1, druga zeruje się dla x=-1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z pierwszego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

 

 

 

 

 

 

 

 

`\ \ \ x<=-1` 

`(x<=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-1;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=-1)` 

 

`3)\ x in <<1;\ +infty)` 

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2` 

`\ \ \ -(1-x)-(1+x)>=2` 

`\ \ \ -1+x-1-x>=2` 

`\ \ \ -2>=2` 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ -1>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=5, druga zeruje się dla x=1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)` 

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4` 

`\ \ \ -(x-5)-(x-1)>=4` 

`\ \ \ -x+5-x+1>=4` 

`\ \ \ -2x+6>=4\ \ \ |-6` 

`\ \ \ -2x>=-2\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x<=1` 

`(x <=1\ \ \ "i"\ \ \ x <=1)\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1))` 

 

 

`2)\ x in <<1;\ 5)` 

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4` 

`\ \ \ -(x-5)+(x-1)>=4` 

`\ \ \ -x+5+x-1>=4` 

`\ \ \ 4>=4` 

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<1;\ 5))` 

 

 

`3)\ x in <<5;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4` 

`\ \ \ x-5+x-1>=4` 

`\ \ \ 2x-6>=4\ \ \ |+6` 

`\ \ \ 2x>=10\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x>=5` 

`(x>=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<5;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<5;\ +infty))`  

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in RR))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=2, druga zeruje się dla x=-2. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)` 

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8` 

`\ \ \ -(3x-6)+(x+2)<8` 

`\ \ \ -3x+6+x+2<8` 

`\ \ \ -2x+8<8\ \ \ |-8` 

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x>=0` 

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")` 

 

`2)\ x in <<-2;\ 2)` 

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8` 

`\ \ \ -(3x-6)-(x+2)<8` 

`\ \ \ -3x+6-x-2<8` 

`\ \ \ -4x+4<8\ \ \ |-4` 

`\ \ \ -4x<4\ \ \ |:(-4)` 

`\ \ \ x> -1` 

`(x> -1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 2))` 

 

 

`3)\ x in <<2;\ +infty)` 

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8` 

`\ \ \ 3x-6-(x+2)<8` 

`\ \ \ 3x-6-x-2<8` 

`\ \ \ 2x-8<8\ \ \ |+8` 

`\ \ \ 2x<16\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x<8` 

`(x<8\ \ \ "i"\ \ \ x in <<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 8))` 

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-1;\ 8))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

`sqrt(x^2+4x+4)+|x|<=5` 

`sqrt(x^2+2*x*2+2^2)+|x|<=5` 

`sqrt((x+2)^2)+|x|<=5` 

`|x+2|+|x|<=5` 

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-2, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)` 

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5` 

`\ \ \ -(x+2)-x<=5` 

`\ \ \ -x-2-x<=5` 

`\ \ \ -2x-2<=5\ \ \ |+2`   

`\ \ \ -2x<=7\ \ \ |:(-2)`  

`\ \ \ x>=-7/2`  

`\ \ \ x>=-3 1/2` 

`(x>=-3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3 1/2;\ -2))`  

 

`2)\ x in <<-2;\ 0)` 

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5` 

`\ \ \ x+2-x<=5` 

`\ \ \ 2<=5` 

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-2;\ 0))` 

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)` 

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5` 

`\ \ \ x+2+x<=5` 

`\ \ \ 2x+2<=5\ \ \ |-2` 

`\ \ \ 2x<=3\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x<=3/2` 

`\ \ \ x<=1 1/2` 

`(x<=1 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ 1 1/2>>)` 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-3 1/2;\ 1 1/2>>))`  

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`f)` 

`sqrt(9-6x+x^2)-3>sqrt(x^2)` 

`sqrt(x^2-6x+9)-3>|x|` 

`sqrt(x^2-2*x*3+3^2)-3>|x|` 

`sqrt((x-3)^2)-3>|x|`  

`|x-3|-3>|x|`  

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)` 

`\ \ \ |x-3|-3>|x|` 

`\ \ \ -(x-3)-3> -x` 

`\ \ \ -x+3-3 > -x` 

`\ \ \ -x>=-x\ \ \ |+x`  

`\ \ \ 0>0`   

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)` 

`\ \ \ |x-3|-3>|x|` 

`\ \ \ -(x-3)-3>x` 

`\ \ \ -x+3-3>x` 

`\ \ \ -x>x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x>0\ \ \ |:(-2)`  

`\ \ \ x<0`   

`(x<\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`  

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-3|-3>|x|` 

`\ \ \ x-3-3>x`  

`\ \ \ x-6>x\ \ \ |-x`  

`\ \ \-6>0`   

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

   

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy, że nierówność nie ma rozwiązania. 

`ul(ul("brak rozwiązania"))`