Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Udowodnij, że dla dowolnych 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Podane liczby są dodatnie, więc bez obaw możemy podnieść nierówność stronami do kwadratu (jeśli liczby są dodatnie, to nierówność zostanie zachowana). 

 

 

 

 

 

Przypuśćmy, że podana nierówność nie zachodzi, czyli że zachodzi nierówność przeciwna:

 

 

Podnieśmy nierówność stronami do kwadratu: 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest sprzeczna - kwadrat każdej liczby rzeczywistej (a więc także różnicy liczb a i b) jest nieujemny. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc przyjęta przez nas nierówność jest nieprawdziwa. Oznacza to, że równość z tezy jest prawdziwa. 

 

 

 

 

  

 

Przypuśćmy, że podana nierówność nie zachodzi, czyli że zachodzi nierówność przeciwna:

  

 

Podnieśmy nierówność stronami do kwadratu: 

 

 

 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest sprzeczna - kwadrat każdej liczby rzeczywistej (a więc także różnicy liczb 4a i b) jest nieujemny. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc przyjęta przez nas nierówność jest nieprawdziwa. Oznacza to, że równość z tezy jest prawdziwa.