Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż układ równań metodą eliminacji 5.0 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

3 Zadanie

 

 

 

Zapisujemy macierz, w której kolejne wiersze odpowiadają kolejnym równaniom układu: 

 

Od drugiego wiersza macierzy odejmujemy jej pierwszy wiersz:   

           

Do trzeciego wiersza macierzy dodajemy dwukrotność jej pierwszego wiersza:

 

Od trzeciego wiersza macierzy odejmujemy pięciokrotność jej drugiego wiersza:

 

 

Teraz nasz układ jest w postaci, z której kolejno łatwo wyznaczymy z, y, x. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań. 

 

 

  

Wszystkie równości są prawdziwe, więc otrzymane rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

  

 

 

     

 

 

 

 

 

Zapisujemy macierz, w której kolejne wiersze odpowiadają kolejnym równaniom układu: 

 

Od drugiego wiersza macierzy odejmujemy jej pierwszy wiersz:

`[[1,2,-1,|,-2],[0, 1, 4, |, 6],[-1, 4, -6, |, 7]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 1-1=0,\ \ 3-2=1,\ \ 3-(-1)=3+1=4,\ \ 4-(-2)=4+2=6))` 

Do trzeciego wiersza macierzy dodajemy jej pierwszy wiersz:

`[[1,2,-1,|,-2],[0, 1, 4, |, 6],[0, 6, -7, |, 5]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ -1+1=0,\ \ 4+2=6,\ \ -6+(-1)=-7,\ \ 7+(-2)=5))` 

Od trzeciego wiersza macierzy odejmujemy sześciokrotność jej drugiego wiersza:

`[[1,2,-1,|,-2],[0, 1, 4, |, 6],[0, 0, -31, |, -31]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 0-6*0=0-0=0,\ \ 6-6*1=6-6=0,\ \ -7-6*4=-7-24=-31,\ \ 5-6*6=5-36=-31))` 

 

 

Teraz nasz układ jest w postaci, z której kolejno łatwo wyznaczymy z, y, x. Zapiszmy równania zaczynając od dolnego wiersza macierzy:

`{(-31z=-31\ \ \ |:(-31)), (y+4z=6), (x+2y-z=-2\ \ \ |+z-2y):}`  

`{(z=1), (y+4*1=6\ \ \ |-4), (x=z-2y-2):}` 

`{(z=1), (y=2), (x=1-2*2-2=1-4-2=1-6=-5):}` 

 

 

`ul("sprawdzenie")` 

Podstawiamy otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań. 

`{(-5+2*2-1#=^?-2), (-5+3*2+3*1#=^?4), (-(-5)+4*2-6*1#=^?7):}`  

`{(-5+4-1#=^?-2), (-5+6+3#=^?4), (5+8-6#=^?7):}`  

`{(-2#=^?-2), (4#=^?4), (7#=^?7):}` 

Wszystkie równości są prawdziwe, więc otrzymane rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

`c)` 

`{(x+2y+3z=11), (2x+3y+z=5), (2x-2y-z=12):}` 

 

Zapisujemy macierz, w której kolejne wiersze odpowiadają kolejnym równaniom układu: 

`[[1,2,3,|,11],[2,3,1,|,5],[2,-2,-1,|,12]]` 

Od drugiego wiersza macierzy odejmujemy dwukrotność jej pierwszego wiersza:

`[[1,2,3,|,11],[0,-1,-5,|,-17],[2,-2,-1,|,12]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 2-2*1=2-2=0,\ \ 3-2*2=3-4=-1,\ \ 1-2*3=1-6=-5,\ \ 5-2*11=5-22=-17))`   

 Od trzeciego wiersza macierzy odejmujemy dwukrotność jej pierwszego wiersza:

`[[1,2,3,|,11],[0,-1,-5,|,-17],[0,-6,-7,|,-10]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 2-2*1=2-2=0,\ \ -2-2*2=-2-4=-6,\ \ -1-2*3=-1-6=-7,\ \ 12-2*11=12-22=-10))`   

Od trzeciego wiersza macierzy odejmujemy sześciokrotność jej drugiego wiersza:

`[[1,2,3,|,11],[0,-1,-5,|,-17],[0,0,23,|,92]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 0-6*0=0-0=0,\ \ -6-6*(-1)=-6+6=0,\ \ -7-6*(-5)=-7+30=23,\ \ -10-6*(-17)=-10+102=92))` 

 

  

 

Teraz nasz układ jest w postaci, z której kolejno łatwo wyznaczymy z, y, x. Zapiszmy równania zaczynając od dolnego wiersza macierzy:

`{(23z=92\ \ \ |:23), (-y-5z=-17), (x+2y+3z=11):}` 

`{(z=4), (-y-5*4=-17\ \ \ |+20), (x+2y+3*4=11\ \ \ |-2y-12):}`  

`{(z=4) , (-y=3\ \ \ |*(-1)), (x=-2y-1):}` 

`{(z=4), (y=-3), (x=-2*(-3)-1=6-1=5):}` 

 

`ul("sprawdzenie")` 

Podstawiamy otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań. 

`{(5+2*(-3)+3*4#=^?11), (2*5+3*(-3)+4#=^?5), (2*5-2*(-3)-4#=^?12):}` 

`{(5-6+12#=^?11), (10-9+4#=^?5), (10+6-4#=^?12):}` 

`{(11#=^?11), (5#=^?5), (12#=^?12):}`     

 

Wszystkie równości są prawdziwe, więc otrzymane rozwiązanie jest poprawne.

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

`d)` 

`{(x+2y+z=2), (x+y+3z=11), (3x-y-5z=-19):}` 

 

 

 

Zapisujemy macierz, w której kolejne wiersze odpowiadają kolejnym równaniom układu: 

`[[1,2,1,|,2],[1,1,3,|,11],[3,-1,-5,|,-19]]` 

Od drugiego wiersza macierzy odejmujemy jej pierwszy wiersz:

`[[1,2,1,|,2],[0,-1,2,|,9],[3,-1,-5,|,-19]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 1-1=0,\ \ 1-2=-1.\ \ 3-1=2,\ \ 11-2=9))`

Od trzeciego wiersza macierzy odejmujemy trzykrotność jej pierwszego wiersza:

`[[1,2,1,|,2],[0,-1,2,|,9],[0,-7,-8,|,-25]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 3-3*1=3-3=0,\ \ -1-3*2=-1-6=-7,\ \ -5-3*1=-5-3=-8,\ \ -19-3*2=-19-6=-25))`

Od trzeciego wiersza macierzy odejmujemy siedmiokrotność jej drugiego wiersza:

`[[1,2,1,|,2],[0,-1,2,|,9],[0,0,-22,|,-88]]\ \ \ \ \ \ ^(("obliczenia:"\ \ 0-7*0=0=-0=0,\ \ -7-7*(-1)=-7+7=0,\ \ -8-7*2=-8-14=-22,\ \ -25-7*9=-25-63=-88))` 

 

Teraz nasz układ jest w postaci, z której kolejno łatwo wyznaczymy z, y, x. Zapiszmy równania zaczynając od dolnego wiersza macierzy:

`{(-22z=-88\ \ \ |:(-22)), (-y+2z=9), (x+2y+z=2):}` 

`{(z=4), (-y+2*4=9\ \ \ |-8), (x+2y+4=2\ \ \ |-2y-4):}` 

`{(z=4), (-y=1\ \ \ |*(-1)), (x=-2y-2):}` 

`{(z=4), (y=-1), (x=-2*(-1)-2=2-2=0):}` 

 

`ul("sprawdzenie")` 

Podstawiamy otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań. 

`{(0+2*(-1)+4#=^?2), (0+(-1)+3*4#=^?11), (3*0-(-1)-5*4#=^?-19):}` 

`{(0-2+4#=^?2), (0-1+12#=^?11), (0+1-20#=^?-19):}` 

`{(2#=^?2), (11#=^?11), (-19#=^?-19):}` 

 

Wszystkie równości są prawdziwe, więc otrzymane rozwiązanie jest poprawne.