Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2015
Wyznacz równania prostych 4.86 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

`ul(ul("prosta AB"))` 

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A oraz B:

`{(2=a*(-3)+b), (-6=a*1+b\ \ \ |*3):}` 

`{(2=-3a+b), (-18=3a+3b):}\ \ \ |+` 

`-16=4b\ \ \ |:4` 

`b=-4` 

 

Podstawiamy obliczoną wartość b do drugiego równania pierwszego układu: 

`-6=a+(-4)` 

`-6=a-4\ \ \ |+4` 

`a=-2` 

 

Możemy więc zapisać równanie prostej: 

`ul(y=-2x-4)` 

 

 

`ul(ul("prosta AC"))` 

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A oraz C:

`{(2=a*(-3)+b\ \ \ \|*3), (6=a*9+b):}` 

`{(6=-9a+3b), (6=9a+b):}\ \ \ |+` 

`12=4b\ \ \ |:4` 

`b=3` 

Podstawiamy obliczoną wartość b do drugiego równania drugiego układu: 

`6=9a+3\ \ \ |-3` 

`3=9a\ \ \ |:9` 

`a=3/9=1/3` 

 

Możemy więc zapisać równanie prostej: 

`ul(y=1/3x+3)` 

 

 

`ul(ul("prosta BC"))`  

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów B oraz C:

`{(-6=a*1+b\ \ \ |*(-1)), (6=a*9+b):}` 

`{(6=-a-b), (6=9a+b):}\ \ \ |+` 

`12=8a\ \ \ |:8` 

`a=12/8=3/2` 

Podstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu: 

`-6=3/2+b` 

`-6=1 1/2+b\ \ \ |-1 1/2` 

`b=-7 1/2=-15/2`  

 

Możemy więc zapisać równanie prostej:

`ul(y=3/2x-15/2)` 

 

 

 

`b)` 

Możemy wyznaczyć równania prostych AB, BC, CD, DA w taki sam sposób jak w podpunkcie a), możemy też zrobić to inaczej. 

Wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b przechodzącej przez dwa puntky dany jest wzorem:

`P_1=(x_1;\ y_1),\ \ \ P_2=(x_2;\ y_2)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)` 

Znamy współrzędne punktów A, B, C, D możemy więc wyznaczyć współczynniki kierunkowe kolejnych prostych:

`a_(AB)=(3-(-3))/(6-(-2))=(3+3)/(6+2)=6/8=3/4` 

`a_(BC)=(4-3)/(-1-6)=1/(-7)=-1/7` 

`a_(CD)=(1-4)/(-5-(-1))=(-3)/(-5+1)=(-3)/(-4)=3/4` 

`a_(DA)=(-3-1)/(-2-(-5))=(-4)/(-2+5)=-4/3` 

 

Zauważmy, że proste AB i CD mają jednakowe współczynniki kierunkowe - oznacza to, że są one równoległe (musi tak być, ponieważ te proste zawierają w sobie podstawy trapezu). 

Współczynniki kierunkowe prostych DA i CD oraz DA i AB spełniają warunek:

`-1/(a_(DA))=-1/(-4/3)=1/(4/3)=1:4/3=1*3/4=a_(AB)=a_(CD)` 

co oznacza, że proste DA i CD oraz DA i AB są prostopadłe. Trapez ABCD jest więc trapezem prostokątnym, ponieważ ramię DA jest prostopadłe do podstaw AB i CD. 

 

Wyznaczymy teraz równania kolejnych prostych: 

`ul(ul("prosta AB"))` 

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=3/4x+b` 

Prosta przechodzi przez punkt A, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`-3=3/4*(-2)+b` 

`-3=-3/2+b` 

`-3=-1 1/2+b\ \ \ |+1 1/2` 

`b=-1 1/2` 

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=3/4x-1 1/2)` 

 

 

`ul(ul("prosta BC"))` 

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=-1/7x+b` 

Prosta przechodzi przez punkt B, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`3=-1/7*6+b` 

`3=-6/7+b\ \ \ |+6/7` 

`b=3 6/7` 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=-1/7x+3 6/7)` 

 

 

`ul(ul("prosta CD"))` 

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=3/4x+b` 

Prosta przechodzi przez punkt C, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`4=3/4*(-1)+b` 

`4=-3/4+b\ \ \ |+3/4` 

`b=4 3/4` 

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=3/4x+4 3/4)` 

 

 

`ul(ul("prosta DA"))` 

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=-4/3x+b` 

Prosta przechodzi przez punkt D, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`1=-4/3*(-5)+b` 

`1=20/3+b` 

`1=6 2/3+b\ \ \ |-6 2/3` 

`b=-5 2/3` 

 

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=-4/3x-5 2/3)`