Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Ewa Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania: 2015
Jaka jest ostatnia cyfra liczby 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

Zapiszmy kilka kolejnych potęg trójki:

  

  

 

  

`3^5=3*3*3*3*3=81*3=24ul(ul(3))` 

`3^6=3*3*3*3*3*3=243*3=72ul(ul(9))` 

 

Ogólnie warto zauważyć, że ostatnie cyfry to kolejno 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... - mamy cztery możliwe "końcówki":

  • ostatnia cyfra to 3, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1
  • ostatnia cyfra to 9, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 7, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 1, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

U nas wykładnikiem jest liczba 23, podzielmy ją przez 4:

`23:4=5\ r.\ 3` 

Mając resztę korzystamy z tego, co zauważyliśmy i mamy odpowiedź:

`"Ostatnia cyfra liczby "3^23 " jest równa 7."`  

 

 

 

`b)` 

Podobnie jak poprzednio zapiszmy kilka kolejnych potęg czwórki:

`4^1=ul(ul(4))` 

`4^2=4*4=1ul(ul(6))` 

`4^3=4*4*4=16*4=6ul(ul(4))` 

`4^4=4*4*4*4=64*4=25ul(ul(6))` 

 

Tym razem widać, że jeśli wykładnik potęgi jest nieparzysty, to ostatnią cyfrą jest 4, natomiast jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to ostatnią cyfrą jest 6. Liczba 16 jest parzysta, zatem mamy odpowiedź:

`"Ostatnia cyfra liczby "4^16 " jest równa 6."` 

`"`