Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Podaj dziedzinę wyrażenia, a następnie ... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii

 

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{0}` 

Upraszczamy wyrażenie:

 `(x^6-7x^4)/x^3=(x^strike(4)(x^2-7))/strike(x^3)=x^3-7x` 

-1 należy do dziedziny wyrażenia, więc obliczamy wartośc wyrażenia dla x=-1:

`(-1)^3-7*9-10=-1+7=-6`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (2x^4+4x^3+2x^2)/(x^3+x^2)`  

Sprawdźmy, dla jakich x wartość mianownika wynosi 0.

`x^3+x^2=0` 

`x^2(x+1)=0` 

`x^2=0\ \ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ \ x+1=0` 

`\ x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-1`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-1,0}` 

Upraszczamy wyrażenie:

 `(2x^4+4x^3+2x^2)/(x^3+x^2)=(2strike(x^2)#overbrace((x^2+2x+1))^("wzór na kwadrat sumy"))/(strike(x^2)(x+1))=((x+1)^strike(2))/(strike(x+1))=x+1`   

-1 nie należy do dziedziny wyrażenia, więc nie obliczamy wartości wyrażenia dla x=-1.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ (x^2-1)/((x+1)^2)`   

Sprawdźmy, dla jakich x wartość mianownika wynosi 0.

`(x+1)^2=0`  

`x+1=0` 

`x=-1` 

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-1}` 

Upraszczamy wyrażenie:

 `(x^2-1)/((x+1)^2)=((x-1)strike((x+1)))/((x+1)^strike(2))=(x-1)/(x+1)`     

-1 nie należy do dziedziny wyrażenia, więc nie obliczamy wartości wyrażenia dla x=-1.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ (x^2-4)/(x^2-4x+4)`  

Sprawdźmy, dla jakich x mianownik się zeruje.

`#underbrace(x^2-4x+4)_("wzór na kwadrat różnicy")=0` 

`\ \ \ \ \ (x-2)^2=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ x=2` 

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{2}` 

Upraszczamy wyrażenie:

 `(x^2-4)/(x^2-4x+4)=(strike((x-2))(x+2))/((x-2)^strike(2))=(x+2)/(x-2)`  

-1 należy do dziedziny wyrażenia, więc obliczamy wartość wyrażenia dla x=-1:

`(-1+2)/(-1-2)=-1/3`    

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ (x^4-3x^3)/(x^4-9x^2)`  

Sprawdźmy, dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^4-9x^2=0`

`x^2(x^2-9)=0` 

`x^2=0\ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ \ x^2-9=0`

`x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x-3)(x+3)=0`  

`x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=3\ \ \ \ vv \ \ \ x=-3`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-3,0,3}`  

Upraszczamy wyrażenie:

 `(x^4-3x^3)/(x^4-9x^2)=(x^strike(3)(x-3))/(strike(x^2)(x^2-9))=(xstrike((x-3)))/(strike((x-3))(x+3))=(x)/(x+3)`      

-1 należy do dziedziny wyrażenia, więc obliczamy wartość wyrażenia dla x=-1:

`(-1)/(-1+3)=-1/2`     

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ (x^4-1)/(x^4+2x^2+1)`   

Sprawdźmy, dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^4+2x^2+1=0` 

Wykonujemy podstawienie:

`x^2=t` 

`#underbrace(t^2+2t+1)_("wzór na kwadrat sumy")=0` 

`\ \ \ \ (t+1)^2=0` 

`\ \ \ \ \ t=-1`   

 Wróćmy do podstawienia. W miejsce t podstawiamy x2:

`\ \ \ \ \ x^2=-1` 

`\ "brak pierwiastków"` 

(Nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje w wyniku liczbę ujemną)

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Możemy także od razu zauważyć, że mianownik nigdy nie będzie się zerował. Liczba podniesiona do potęgi parzystej zawsze będzie liczbą większą lub równą 0. Do potęg dodajemy 1, więc otrzymujemy w mianowniku liczbę większą od 0)

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR`   

Upraszczamy wyrażenie:

 `#overbrace((x^4-1))^((x^2)^2-1^2)/(#underbrace(x^4+2x^2+1)_((x^2+1)^2))=((x^2-1)strike((x^2+1)))/((x^2+1)^strike(2))=(x^2-1)/(x^2+1)`            

-1 należy do dziedziny wyrażenia, więc obliczamy wartość wyrażenia dla x=-1:

`(1-1)/(1+1)=0`     

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"g)"\ (-x^2+x^6)/(x^4-2x^3+x^2)`  

Sprawdźmy, dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^4-2x^3+x^2=0` 

`x^2(x^2-2x+1)=0`  

`x^2=0\ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ \ x^2-2x+1=0` 

`x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(x-1)^2=0`   

`x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1`  

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{0,1}`  

Upraszczamy wyrażenie:

 `(-x^2+x^6)/(x^4-2x^3+x^2)=(strike(x^2)#overbrace((x^4-1))^((x^2)^2-1^2))/(strike(x^2)(x-1)^2)=((x^2-1)(x^2+1))/((x-1)^2)=`              

`=(strike((x-1))(x+1)(x^2+1))/((x-1)^strike(2))=((x+1)(x^2+1))/(x-1)`  

-1 należy do dziedziny wyrażenia, więc obliczamy wartość wyrażenia dla x=-1:

`((-1+1)(1+1))/(-1-1)=0`       

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"h)"\ (2x^2+12x+18)/(x^2+5x+6)`   

Sprawdźmy, dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^2+5x+6=0` 

`Delta=25-24=1` 

`sqrtDelta=1` 

`x_1=(-5-1)/2=-3` 

`x_2=(-5+1)/2=-2` 

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-2,-3}`   

Upraszczamy wyrażenie:

`(2x^2+12x+18)/(x^2+5x+6)=(2#overbrace((x^2+6x+9))^("wzór na kwadrat sumy"))/((x+3)(x+2))=(2(x+3)^strike(2))/(strike((x+3))(x+2))=(2(x+3))/(x+2)`              

-1 należy do dziedziny wyrażenia, więc obliczamy wartość wyrażenia dla x=-1:

`(2*2)/1=4`