Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Podstawą domku dla lalek jest prostokąt ... 4.0 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Podstawą domku dla lalek jest prostokąt ...

1 Zadanie
2 Zadanie
3 Zadanie
4 Zadanie

a) Wyrażamy objętość domku, jako funkcję zmiennej x.

Rysunek pomocniczy:

Objętośc domku obliczymy sumując objętość prostopadłościanu (dolnej części domku) oraz graniastosłupa, w którego podstawie znajduje się trójkąt równoramienny (górna część domku; zakładamy, że przekrój dachu jest trójkątem równoramiennym).

Podstawą domku jest prostokąt. Jego obwód wynosi 32 dm. Długość jednego z boków to 2x. Oznaczmy drugi bok przez b. Obliczmy długość boku b (od obwodu odejmiemy dwa boki o długości 2x i podzielimy otrzymany wynik na dwa). 

 

Dolna część domku jest prostopadłościanem o wymiarach 2x dm, 16-2x dm oraz x dm. Obliczmy objętość dolnej części domku.

  

Górna część domku to graniastosłup. W podstawie tego graniastosłupa znajduje się trójkąt równoramienny o podstawie równej 2x dm oraz wysokości opuszczonej na tę podstawę o długości 5-x dm (cały domek ma 5 dm wysokości, wysokość części dolnej to x dm). Obliczmy objętość górnej części domku. Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru Vg=Pp∙H.

  

Objętość całego domku to:

 

Funkcja wyrażająca objętość domku w zależności od zmiennej x to:

 

Określmy dziedzinę tej funkcji. x - wysokość dolnej części domku musi być większa od 0, z drugiej strony musi być także mniejsza od wysokości całego domku, czyli od 5 dm.

Stąd:

 

b) Chcemy, aby objętość domku wynosiła 240 dm 3 .

Podstawmy tę objętość do wyznaczonego powyżej wzoru funkcji.

 

 

   

   

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

 

Rozłóżmy wielomian na czynniki (grupujemy wyrazy).

 

Rozkładamy wielomian korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

`w(x)=(x-sqrt40)(x+sqrt40)(x-3)=(x-2sqrt10)(x+2sqrt10)(x-3)`

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2√10, 3 oraz 2√10.

Określmy, które pierwiastki należą do dziedziny funkcji V(x).

`D_(f):x\in(0,5)` 

`-2sqrt10 !in (0,5)` 

`3\in (0,5)` 

`2sqrt10 !in (0,5)` 

Jedynym rozwiązaniem należącym do dziedziny funkcji V(x) jest liczba 3.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Sprawdżmy, czy x=3 dm spełnia warunki zadania.

Czy V(3)=240?

`V(3)=2*3(3+5)(8-3)=6*8*5=240\ [dm^3]` 

 

Odp: Objętość domku jest równa 240 dm dla x = 3 dm.