Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Rozwiąż nierówność. 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii

 

Wielomian

 

można rozłożyć na czynniki niższych stopni używając wzorów skróconego mnożenia.

 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: -2, 1 oraz 2.

1 jest pierwistkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku wielomianu), pozostałe pierwiastki są jednokrotne (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian przyjmuje wartosci dodatnie.

 

 

 

Wielomian

   

rozkładamy na czynniki niższych stopni.

I czynnik:

 

 

 

 

II czynnik:

 

 

 

 

 

Stąd wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

  

 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: -2, 1 / 2 oraz 1.

1 jest pierwistkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku wielomianu), pozostałe pierwiastki są jednokrotne (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

 

 

 

 

Wielomian

    

rozkładamy na czynniki niższych stopni (wyłączamy x z każdego czynnika).

 

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

 

 

(trójmian kwadratowy x 2 +2x+4 - nie ma pierwiastków)

 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: 0 oraz 2.

Oba pierwiastki są jednokrotne (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości ujemne.

 

 

 

  

Wielomian

    

rozkładamy na czynniki niższych stopni (wyłączamy x 2  z każdego czynnika).

 

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

   

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: -2√2, 0 oraz 2√2.

0 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku), pozostałe pierwiastki są jednokrotne (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

 

  

Wielomian

    

rozkładamy na czynniki niższych stopni (wyłączamy x z każdego czynnika).

  

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

 

 

 

 

Wielomian w(x) możemy zapisać:

 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: 1-√5, 0 oraz 1+√5.

Każdy z pierwiastków jest jednokrotny (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

 

 

  

  

 

W wielomianu w(x)

wykonajmy podstawienie x 2 =t.

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

  

 

 

   

 

Wykonywaliśmy podstawienie, więc w miejsce t podstawmy x 2 .

Wielomian w(x) możemy zapisać wtedy:

`w(x)=(x^2-4)(x^2-9)` 

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia mamy:

`w(x)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)`    

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: -3, -2, 2 oraz3.

Każdy z pierwiastków jest jednokrotny (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości nieujemne (większe lub równe 0).

`w(x)>=0\ \ "dla"\ \ x \in <<-oo,-3>>\ \cup\ <<-2,2>>\ \cup\ <<3,+oo)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"g)"\ x^4-x^3-2x-4<=0`  

Wielomian

`w(x)=x^4-x^3-2x-4`    

rozkładamy na czynniki.

Współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -2, 2, -4, 4

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^4-1^3-2*1-4=1-1-2-4!=0` 

`w(-1)=(-1)^4-(-1)^3-2*(-1)-4=1+1+2-4!=0`

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejny pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1).

 

`x^4-x^3-2x-4=#underbrace((x+1))_("I czynnik")#underbrace((x^3-2x^2+2x-4))_("II czynnik")`  

W II czynniku mozemy pogrupować wyrazy.

`x^3-2x^2+2x-4=x^2(x-2)+2(x-2)=(x^2+2)(x-2)` 

Ostatecznie wielomian w(x) mozemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x+1)(x^2+2)(x-2)` 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: -1 oraz 2 (x 2 +2 - brak pierwiastków).

Każdy z pierwiastków jest jednokrotny (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in <<-1,2>>`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"h)"\ 4x^3+12x^2-x-3>0`   

Wielomian

`w(x)=4x^3+12x^2-x-3`    

rozkładamy na czynniki niższych stopni (grupujemy wyrazy).

`w(x)=4x^2(x+3)-1(x+3)=(4x^2-1)(x+3)=4(x^2-1/4)(x+3)`  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

`w(x)=4(x-1/2)(x+1/2)(x+3)`  

Pierwiastkami wielomianu w(x) są: -3, - 1 / 2  oraz  1 / 2 .

Każdy z pierwiastków jest jednokrotny (zmieniają znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-3,-1/2)\ \cup\ (1/2,+oo)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"i)"\ x^3+6x^2+6x> -5` 

`x^3+6x^2+6x+5>0`    

Wielomian

`w(x)=x^3+6x^2+6x+5`    

rozkładamy na czynniki.

Współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -5, 5

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3+6*1^2+6*1+5=1+6+6+5!=0` 

`w(-1)=(-1)^3+6*(-1)^2+6*(-1)+5=-1+6-6+5!=0` 

`w(-5)=(-5)^3+6*(-5)^2+6*(-5)+5=-125+150-30+5=0` 

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejny pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+5).

 

`x^3+6x^2+6x+5=(x+5)(x^2+x+1)`    

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1-4<0` 

 

Pierwiastkami wielomianu w(x) jest liczba -5. jest to pierwiastek jednokrotny (zmienia znak).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-5,+oo)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"j)"\ -x^3+2x^2+4x>3` 

`-x^3+2x^2+4x-3>0`    

Wielomian

`w(x)=-x^3+2x^2+4x-3`    

rozkładamy na czynniki.

Współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -3, 3

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=-1^3+2*1^2+4*1-3=-1+2+4-3!=0` 

`w(-1)=-(-1)^3+2*(-1)^2+4*(-1)-3=1+2-4-3!=0` 

`w(3)=-3^3+2*3^2+4*3-3=-27+18+12-3=0`  

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejny pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-3).

 

`-x^3+2x^2+4x-3=(x-3)(-x^2-x+1)`    

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1+4=5` 

`sqrtDelta=sqrt5` 

`x_1=(-1-sqrt5)/2` 

`x_2=(-1+sqrt5)/2` 

Wielomian w(x) możemy więc zapisać w postaci:

`w(x)=-(x-3)(x-x_1)(x-x_2)`   

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby x 1 ,x 2  oraz 3. Są to pierwiastki jednokrotne (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo, x_1)\ \cup\ (x_2,\ 3)`    

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"k)"\ x^3-6x^2+12x<=8`  

`x^3-6x^2+12x-8<=0`     

Wielomian

`w(x)=x^3-6x^2+12x-8`    

rozkładamy na czynniki.

Współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3-6*1^2+12*1-8=1-6+12-8!=0` 

`w(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2+12*(-1)-8=-1-6-12-8!=0` 

`w(2)=2^3-6*2^2+12*2-8=8-24+24-8=0` 

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejny pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-2).

 

`x^3-6x^2+12x-8=(x-2)(x^2-4x+4)`    

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=16-16=0`  

`x=4/2=2` 

`x^2-4x+4=(x-2)^2`   

Wielomian w(x) możemy więc zapisać w postaci:

`w(x)=(x-2)(x-2)^2=(x-2)^3`    

Pierwiastkami wielomianu w(x) jest liczba 2. jest to pierwiastek trzykrotny (zmienia znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości niedodatnie.

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo, \ 2>>` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"l)"\ 2x^3-3x^2-10x+15<=0`

Wielomian

`w(x)=2x^3-3x^2-10x+15`  

rozkładamy na czynniki.

Współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, a n 0, a 0 0 więc możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 15 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-5,\ 5,-15,\ 15}`  

Dzielniki wyrazu a n , czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

`p/q={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3-3/2,\ 3/2,-5,\ 5, -5/2,\ 5/2,\ -15,\ 15,-15/2,\ 15/2}`  

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(3/2)=2*(3/2)^3-3*(3/2)^2-strike10^5*(3/strike2^1)+15=27/4-27/4-15+15=0`   

Liczba 3 / 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejny pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x- 3 / 2 ).

 

`2x^3-3x^2-10x+15=(x-3/2)(2x^2-10) `

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=0+80=80 `  

`sqrtDelta=sqrt80=4sqrt5`  

`x_1=(-4sqrt5)/4=-sqrt5`  

`x_2=4sqrt5/4=sqrt5`  

 

`2x^2-10=2(x-sqrt5)(x+sqrt5)`  

Wielomian w(x) możemy więc zapisać w postaci:

`w(x)=2(x-3/2)(x-sqrt5)(x+sqrt5)`

Pierwiastkami wielomianu w(x)są liczby 3/2,  5 oraz - 5. 

Są to pierwiastki jednokrotne (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Odczytujemy z wykresu te argumenty, dla których wielomian w(x) przyjmuje wartości niedodatnie.

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo, \ -sqrt5>>\ \cup\ <<3/2,\ sqrt5>>`