Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Podaj przykład wielomianu o wyrazie ... 4.34 gwiazdek na podstawie 6 opinii

a) Szukamy wielomianu o wyrazie wolnym a 0 =2, który ma tylko jeden pierwiastek dwukrotny równy 3 i którego stopień jest równy 2. 

Szukamy wielomianu w(x) postaci:

 

Wiemy, że 3 ma być jedynym pierwiastkiem tego wielomianu, ponadto dwukrotnym. Zapiszmy ten wielomian w postaci iloczynowej.

 

Rozpiszmy wielomain w(x) ze wzoru skróconego mnożenia:

  

Możemy porównać obie postacie ogólne:

 

Współczynniki przy odpowiednich potęgach po prawej i lewej stronie równania muszą być sobie równe.

Wyraz wolny po lewej stronie równania to 2, a po prawej 9a. Możemy obliczyć a.

 

 

Po lewej stronie równania współczynnik przy x to b, a po prawej stronie jest to -6a.

 

Podstawmy obliczone powyżej a:

 

Podstawmy a i b do wyjściowego wielomianu.

 

Szukany wielomian to:

 

 

 

b)  Szukamy wielomianu o wyrazie wolnym a 0 =2, który ma tylko jeden pierwiastek dwukrotny równy 3 i którego stopień jest równy 4.

Przykładowy taki wielomian to:

    

Uzasadnienie:  Pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu ma być liczba 3, dlatego w postaci iloczynowej pojawia się wielomian oznaczony jako II czynnik (jest to wielomian stopnia 2, którego 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym).

Cały wielomian ma być stopnia czwartego, więc I czynnik iloczynu musi być wielomianem stopnia drugiego i nie posiadać pierwiastków (gdyż jedynym pierwiastkiem ma być 3).

Musimy pamiętąć, że wyraz wolny wielomianu, który chcemy otrzymać ma wynosić 2. 

Wyraz wolny II czynnika, wynosi 9, bo:

  

Musimy tak dobrać wyraz wolny I czynnika, aby po wymnożeniu przez wyraz wolny II czynnika, czyli przez 9, otrzymać 2.

Stąd wyraz wolny I czynnika to 2 / 9 .

I czynnik musi być więc wielomianem stopnia drugiego, który nie ma pierwiastków, a jego wyraz wolny musi być równy  2 / 9 .

Taki wielomian to np:

 

lub np:

 

  

c)  Szukamy wielomianu o wyrazie wolnym a 0 =2, który ma tylko jeden pierwiastek dwukrotny równy 3 i którego stopień jest równy 6. 

Przykładowy taki wielomian to:

`#underbrace((x^4+2/9))_("I czynnik")*#underbrace((x-3)^2)_("II czynnik")=(x^4+2/9)(x^2-6x+9)=x^6-6x^5+9x^4+2/9x^2-4/3x+ul(ul(2))`     

Uzasadnienie:  Pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu ma być liczba 3, dlatego w postaci iloczynowej pojawia się wielomian oznaczony jako II czynnik (jest to wielomian stopnia 2, którego 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym).

Cały wielomian ma być stopnia szóstego, więc I czynnik iloczynu musi być wielomianem stopnia czwartego i nie posiadać pierwiastków (gdyż jedynym pierwiastkiem ma być 3).

Musimy pamiętąć, że wyraz wolny wielomianu, który chcemy otrzymać ma wynosić 2. 

Wyraz wolny II czynnika, wynosi 9, bo:

`(x-3)^2=x^2-6x+ul(ul(9))`  

Musimy tak dobrać wyraz wolny I czynnika, aby po wymnożeniu przez wyraz wolny II czynnika, czyli przez 9, otrzymać 2.

Stąd wyraz wolny I czynnika to  2 / 9 .

I czynnik musi być więc wielomianem stopnia czwartego, który nie ma pierwiastków, a jego wyraz wolny musi być równy  2 / 9 .

Taki wielomian to np:

`x^4+2/9` 

lub np:

`x^4+x^2+2/9`