Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Na rysunku obok przedstawiono ... 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii

Rysunek pomocniczy:

 

a) Chcemy obliczyć pole trójkąta ABC. Musimy znać długość jego podstawy, czyli odcinka AB oraz długość wysokości poprowadzonej na tę podstawę, czyli odcinka PC, oznaczonego literą h.

Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, dlatego wysokość poprowadzona z wierzchołka C na podstawę AB, dzieli tę podstawę na dwie równe części. Podstawa AB ma długość wynoszącą x 0 . Punkt P, który jest środkiem podstawy AB, ma więc współrzędne:

 

Stąd wynika także, że pierwsza współrzędna punktu C to 1 / 2 x 0 . Wiemy, że punkt C należy do paraboli o wzorze y=x2+1.

Aby obliczyć drugą współrzędną punktu C, w miejsce x, we wzorze na parabolę, wstawiamy 1 / 2 x 0 .

 

 

Druga współrzędna wierzchołka C to  1 / 4 x 0 2 +1. Współrzędne punktu C to:

 

Wysokość h obliczymy odejmując współrzędne y-kowe wierzchołka C i punktu P.

 

Długość wysokości h to  1 / 4 x 0 2 +1.

Obliczmy pole trójkąta ABC.

 

 

Wzór wielomianu opisującego pole trójkata ABC w zależności od x to:

 

Dziedziną tej funkcji jest x 0 >0 .

 

 

b) Zakładamy, że pole trójkąta jest równe 10.

Podstawiamy dane do wzoru opisującego pole trójkąta w zalezności od x 0 .

  

Szuakmy pierwiastków powyższego równania. Chcemy skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

W tym celu współczynniki w równaniu muszą być liczbami całkowitymi.

 

 

Współczynniki są całkowite, an≠0 oraz a 0 ≠0, więc korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -80, to:

Dzielniki wyrazu a n , czyli 1 to:

 

Możliwe pierwiastki to:

Sprawdzamy, która z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu p(x)=x 3 +4x-80.

 

4 jest pierwiastkiem wielomianu p(x)

Wykonujemy dzielenie, aby znaleźć pozostałe pierwiastki.

  

 

Szuakamy pierwiastków równania kwadratowego.

 

 

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych. 

 

Jedynym rozwiązaniem równania:

 

jest 
 

Popatrzmy na rysunek poniżej. Wierzchołek B miał współrzędne (x 0 ,0). Jeżeli x 0 =4, to wierzchołek B ma współrzędne (4,0).

Wierzchołek C miał współrzędne ( 1 / 2 x 0 , 1 / 4 x 0 2 +1), po podstawieniu x 0 =4, otrzymujemy, że wierzchołek C ma współrzędne (2,5).

Odp: Współrzędne wierzchołka B to (4,0), współrzędne wierzchołka C to (2,5).