Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2016
Rozwiąż równanie. 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Aby skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, współczynniki wielomianu muszą byc liczbami całkowitymi.

Staramy się tak przekształcić podane równanie, aby otrzymać współczynniki całkowite.

 

 

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to:

 

Dzielniki wyrazu a n , czyli 2, to:

 

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=2x 3 -3x 2 -x-2 to:

 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

  

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

- 1 / 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

1 / 2  nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

 

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x 2 +x+1.

 

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem poczatkowego równania jest liczba -2.

 

 

 

 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

 

Dzielniki wyrazu a n , czyli 2, to:

 

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x 3 +x 2 -5x+3 to:

 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

    

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

  

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego x 2 +2x-3.

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby -3 oraz 1.

Odp: Rozwiązaniem poczatkowego równania jest liczba -3 i 1.  

 

 

 

   

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to:

 

Dzielniki wyrazu a n , czyli 1, to:

 

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x 4 +2x 3 -x 2 -4x-2 to:

 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

 

-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

  

Szukamy pierwiastków równania  x 3 +x 2 -2x-2=0.

Możemy pogrupować wyrazy.

 

Mamy:

 

`\ \ \ \ \ \ \ x^2-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vv \ \ \ \ \ x+1=0` 

` `

` `

`x=sqrt2\ \ vv\ \ x=-sqrt2\ \ vv\ \ x=-1` 

Pierwiastkami tego równania są √2 -√2 orazx -1.

Odp: Rozwiązaniem początkowego równania są liczby -1, √2 oraz -√ 2.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ 2x^4-5x^3-3x^2=(3x-9)(2x^2+x)` 

`2x^4-5x^3-3x^2=6x^3+3x^2-18x^2-9x` 

`2x^4-5x^3-3x^2=6x^3-15x^2-9x` 

`2x^4-11x^3+12x^2+9x=0`   

Wyłączamy x przed nawias.

`x(2x^3-11x^2+12x+9)=0` 

`x=0\ \ \ vv\ \ \ 2x^3-11x^2+12x+9=0` 

Szukamy pierwiastków równania 2x 3 -11x 2 +12x+9=0.

`2x^3-11x^2+12x+9=0` 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 9 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-9,\ 9}`  

Dzielniki wyrazu a n , czyli 2, to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`  

Mozliwe pierwiastki wielomianu w(x)=2x 3 -11x 2 +12x+9 to:

`(p)/(q)={-9,-9/2,-3,-3/2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 3,\ 9/2,\ 9}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=2*(-1)^3-11*(-1)^2+12*(-1)+9=-2-11-12+9=-16!=0` 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3-11*1^2+12*1+9=2-11+12+9=12!=0` 

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-11*(-1/2)^2+12*(-1/2)+9=-1/4-11/4-6+9=0` 

- 1 / 2   jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x) wykonujemy dzielenie:

`(2x^3-11x^2+12x+9):(x+1/2)=2x^2-12x+18`  

Szukamy pierwiastków równania  2x 2 -12x+18=0.

Podzielmy równanie przez 2, wówczas obliczenia będą łatwiejsza, a pierwiastki się nie zmienią.

`2x^2-12x+18=0\ \ \ \ |:2` 

`x^2-6x+9=0` 

`Delta=(-6)^2-4*1*9=36-36=0` 

`x_1=6/2=3` 

Pierwiastkiem równania jest 3.

Odp: Rozwiązaniem początkowego równania są liczby  - 1 / 2 , 0 oraz 3.