Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż równanie 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek musi być dzielnikiem wyrazu wolnego. W każdym przykładzie wypiszemy więc dzielniki wyrazu wolnego i będziemy szukać pośród nich pierwiastków równania. 

 

 

 

  

Wyraz wolny jest równy 6. Dzielniki 6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

 

 

  

  

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

 

 

Równanie jest więc postaci: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyraz wolny jest równy -6. Dzielniki -6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

 

 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Możemy zapisać rozwiązanie równania. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyraz wolny jest równy -1. Dzielniki -1 to -1, 1. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

 

 

 

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(10x^3-5x^2+2x-1)=0` 

`(x+1)(5x^2(2x-1)+1(2x-1))=0` 

`(x+1)(2x-1)(5x^2+1)=0` 

`2(x+1)(x-1/2)#underbrace((5x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*5*1<0)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Możemy zapisać rozwiązanie równania. 

`ul(ul(x in {-1;\ 1/2}))` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`d)` 

`2x^4+5x^3-x^2-x=0` 

`x#underbrace((2x^3+5x^2-x-1))_(w(x))=0` 

Wyraz wolny jest równy -1. Dzielniki -1 to -1, 1. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=2*1^3+5*1^2-1-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2+5-1-1=5ne0` 

`w(-1)=2*(-1)^3+5*(-1)^2-(-1)-1=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2+5+1-1=3ne0` 

Wielomian w nie ma pierwiastków całkowitych. Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wielomian wymierny x=p/q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze.  Wyraz przy najwyższej potędze jest równy 2; dzielniki 2 to -2, -1, 1, 2. Poszukajmy pierwiastków wymiernych wielomianu w: 

`w(1/2)=2*(1/2)^3+5*(1/2)^2-1/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*1/8+5*1/4-1/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/4+5/4-2/4-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =6/4-2/4-1=4/4-1=1-1=0` 

Liczba 1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`x(x-1/2)(2x^2+6x+2)=0\ \ \ |:2` 

`x(x-1/2)#(#(#(#(#underbrace((x^2+3x+1))_(Delta=3^2-4*1*1=))_(=9-4=5))_(sqrtDelta=sqrt5))_(x_1=(-3-sqrt5)/2))_(x_2=(-3+sqrt5)/2)=0` 

`x(x-1/2)(x-(-3-sqrt5)/2)(x-(-3+sqrt5)/2)=0` 

`ul(ul(x in {0;\ 1/2;\ (-3-sqrt5)/2;\ (-3+sqrt5)/2}))` 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`e)` 

`#underbrace(2x^3-7x^2-2x+1)_(w(x))=0`  

Wyraz wolny jest równy -1. Dzielniki -1 to -1, 1. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=2*1^3-7*1^2-2*1+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2-7-2+1=-6ne0` 

`w(-1)=2*(-1)^3-7*(-1)^2-2*(-1)+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2-7+2+1=-6ne0` 

Wielomian w nie ma pierwiastków całkowitych. Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wielomian wymierny x=p/q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze.  Wyraz przy najwyższej potędze jest równy 2; dzielniki 2 to -2, -1, 1, 2. Poszukajmy pierwiastków wymiernych wielomianu w: 

`w(1/2)=2*(1/2)^3-7*(1/2)^2-2*1/2+1=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*1/8-7*1/4-1+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1/4-7/4=-6/4=-3/2ne0` 

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-7*(-1/2)^2-2*(-1/2)+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*(-1/8)-7*1/4+1+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4-7/4+2=-8/4+2=-2+2=0` 

Liczba -1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1/2)(2x^2-8x+2)=0\ \ \ |:2` 

`(x+1/2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ 4x\ +\ 1))_(Delta=(-4)^2-4*1*1=))_(=16-4=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(4-2sqrt3)/2=2-sqrt3))_(x_2=2+sqrt3)=0` 

`(x+1/2)(x-2+sqrt3)(x-2-sqrt3)=0` 

`ul(ul(x in {-1/2;\ 2-sqrt3;\ 2+sqrt3}))` 

  

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

`f)` 

`x^4+x^3+x^2=x+2\ \ \ |-x-2` 

`x^4+x^3+x^2-x-2=0` 

`x^4+x^3+x^2-x-1-1=0` 

`x^4+x^3+x^2-1-x-1=0` 

`x^3(x+1)+x^2-1-1(x+1)=0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: 

`x^3(x+1)+(x-1)(x+1)-1(x+1)=0` 

Wyciągamy (x+1) przed nawias:

`(x+1)(x^3+(x-1)-1)=0` 

`(x+1)(x^3+x-2)=0` 

`(x+1)(x^3+2x-x-2)=0` 

`(x+1)(x^3-x+2x-2)=0` 

Ponownie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x+1)(x(x^2-1)+2(x-1))=0` 

`(x+1)(x(x-1)(x+1)+2(x-1))=0` 

Wyciągamy (x-1) przed nawias:

`(x+1)(x-1)(x(x+1)+2)=0` 

`(x+1)(x-1)#underbrace((x^2+x+2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)=0` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Możemy zapisać rozwiązanie równania. 

`ul(ul(x in {-1;\ 1}))` 

 

Oczywiście można rozwiązać równanie w standardowy sposób, co pokażemy poniżej. 

`x^4+x^3+x^2=x+2\ \ \ |-x-2` 

`#underbrace(x^4+x^3+x^2-x-2)_(w(x))=0`  

 

Wyraz wolny jest równy -2. Dzielniki -2 to -2, -1, 1, 2. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+1^3+1^2-1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1+1-1-2=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)#underbrace((x^3+2x^2+3x+2))_(u(x))=0` 

Pośród dzielników 2 szukamy pierwiastków całkowitych wielomianu u: 

`u(-1)=(-1)^3+2*(-1)^2+3*(-1)+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1+2-3+2=0` 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)(x+1)#underbrace((x^2+x+2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)=0` 

`ul(ul(x in {1;\ -1}))`