Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż układ nierówności 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności: 

 

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą z nich:

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Oszacujmy jeszcze wartości pierwiastków: 

 

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

  

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność: 

 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

 

 

Możemy teraz podać rozwiązanie układu nierówności: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności:

 

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą z nich:

 

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: 

 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku:  

 

 

 

Mamy więc rozwiązanie pierwszej nierówności: 

 

 

 

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność: 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

 

 

Wtedy możemy opuścić wartość bezwzględną ze zmianą znaku: 

 

 

 

`\ \ \ \ x #underbrace((x^2\ +\ x\ +\ 2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)<=0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest dodatni (równy 1), więc ramiona paraboli są skierowane w górę - cała parabola znajduje się więc nad osią OX - osiąga wyłącznie wartości dodatnie. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku:   

`\ \ \ \ x(x^2+x+2)<=0\ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+x+2)>0` 

`\ \ \ \ x<=0` 

`\ \ \ \ x in (-infty;\ 0>>` 

Musimy jeszcze skonfrontować to  z założeniem:

`\ \ \ \ (x in (-infty;\ 0>>\ \ \ "i"\ \ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -2)))` 

 

 

`2)\ x+2>=0\ \ \ =>\ \ \ x >=-2\ \ \ =>\ \ \ x in <<-2;\ +infty)` 

Możemy opuścić wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

`\ \ \ \ x^3<=x(x+2)` 

`\ \ \ \ x^3<=x^2+2x\ \ \ \ |-x^2-2x` 

`\ \ \ \ x^3-x^2-2x<=0`  

`\ \ \ \ x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ x\ -\ 2))_(Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=))_(=1+8=9))_(sqrtDelta=3))_(x_1=(1-3)/2=-1))_(x_2=(1+3)/2=2)<=0`  

`\ \ \ \ x(x+1)(x-2)<=0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności 1.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>` 

 

Musimy jeszcze skonfrontować to  z założeniem:

`(x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))` 

 

Możemy zapisać zbiór rozwiązań drugiej nierówności:

`(x in (-infty;\ -2)\ \ \ "lub"\ \ \ x in <<-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))` 

 

Teraz możemy zapisać zbiór rozwiązań układu nierówności: 

`(x in (-2;\ +infty)\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -1>>uu<<0;\ 2>>)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-2;\ -1>>uu<<0;\ 2>>))`