Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Wyznacz pierwiastki wielomianu w 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -6. Dzielniki -6 to: -6, -3, -2, -1. 1, 2, 3, 6. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

 

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

 

 

Pierwiastki wielomianu w:

 

 

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Wszystkie pierwiastki mają krotności nieparzyste, więc wykres w każdym pierwiastku zmienia znak.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -12. Dzielniki -12 to: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

 

 

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

 

 

Pierwiastki wielomianu w:

 

 

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. 

`w(x)<=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<2;\ 3>>` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`w(x)=x^4-x^3-x^2-x-2` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Dzielniki -2 to: -2, -1, 1, 2. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4-1^3-1^2-1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1-1-1-1-2=-4ne0` 

`w(-1)=(-1)^4-(-1)^3-(-1)^2-(-1)-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1-1+1-2=0` 

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x+1)(x^3-2x^2+x-2)=(x+1)(x^3+x-2x^2-2)=(x+1)(x(x^2+1)-2(x^2+1))=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x+1)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)(x-2)` 

 

 

Pierwiastki wielomianu w:

`#underbrace(x=-1)_("krotność 1")\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ #underbrace(x=2)_("krotność 1")` 

Naszkicujmy wykres wielomianu w. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. 

`w(x)<=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1;\ 2>>` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

`w(x)=-4x^4-x^2+3x-1` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -1. Dzielniki -1 to:  -1, 1. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=-4*1^4-1^2+3*1-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-4-1+3-1=-3ne0` 

`w(-1)=-4*(-1)^4-(-1)^2+3*(-1)-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-4-1-3-1ne0` 

Nie ma pierwiastków całkowitych, więc szukamy pierwiastków wymiernych. 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wielomian wymierny x=p/q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze. Dzielniki wyrazu wolnego to 1 i -1, a dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Szukamy pierwiastków wymiernych: 

`w(1/2)=-4*(1/2)^4-(1/2)^2+3*1/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4*1/16-1/4+3/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4-1/4+3/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2/4+3/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/2+3/2-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2/2-1=1-1=0` 

 

 

Liczba 1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-1/2)#underbrace((-4x^3-2x^2-2x+2))_(u(x))` 

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu u (wśród takich liczb, jak poprzednio, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(1/2)=-4*(1/2)^3-2*(1/2)^2-2*1/2+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4*1/8-2*1/4-1+2=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/2-1/2-1+2=0` 

Liczba 1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x-1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci: 

`w(x)=(x-1/2)(x-1/2)(-4x^2-4x-4)=-4(x-1/2)^2#underbrace((x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*1*1<0)` 

Pierwiastki wielomianu w:

`#underbrace(x=1/2)_("krotność 1")` 

 

Mamy jeszcze do rozwiązania nierówność:

`w(x)<=0` 

`-4(x-1/2)^2(x^2+x+1)<=0\ \ \ |:(-4)` 

`(x-1/2)^2(x^2+x+1)>=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Współczynnik stojący przy x² jest dodatni, więc parabola znajduje się nad osią x - funkcja kwadratowa w całej swojej dziedzinie jest dodatnia. Możemy więc podzielić nierówność bez zmiany znaku.  

`(x-1/2)^2(x^2+x+1)>=0\ \ \ \ \ \ \ |:(x^2+x+1)>0` 

`(x-1/2)^2>=0` 

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze. 

`x in RR`