Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż równanie. Podaj krotność 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii

Będziemy korzystać z twierdzenia mówiącego o tym, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

 

 

 

Wyraz wolny to -4. Dzielniki -4 to: -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(1)=1^3+3*1^2-4=1+3-4=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(x^2+4x+4)=0` 

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

`(x-1)(x+2)^2=0` 

`#underbrace(x=1)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 2")` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

`#underbrace(x^3-7x^2+15x-9)_(w(x))=0` 

Wyraz wolny to -9. Dzielniki -9 to: -9, -3, -1, 1, 3, 9. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(1)=1^3-7*1^2+15*1-9=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1-7+15-9=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(x^2-6x+9)=0` 

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

`(x-1)(x-3)^2=0` 

`#underbrace(x=1)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=3)_("krotność 2")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`c)` 

Przekształcimy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych, a po drugiej zero. 

`x^5-2x^4+9x^2=4-2x+9/2x^3\ \ \ \ |*2` 

`2x^5-4x^4+18x^2=8-4x+9x^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-8+4x-9x^3` 

`2x^5-4x^4-9x^3+18x^2+4x-8=0` 

`2x^4(x-2)-9x^2(x-2)+4(x-2)=0` 

`(x-2)(2x^4-9x^2+4)=0` 

 

Zajmijmy się drugim czynnikiem. Jest to tzw. równanie dwukwadratowe. Oznacza to, że dokonując podstawienia:

`x^2=t,\ \ \ \ t>=0` 

otrzymamy równanie kwadratowe. Przyjmujemy, że t jest nieujemne, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej x jest nieujemny. 

Dokonajmy więc podstawienia:

`2t^2-9t+4=0` 

`Delta=(-9)^2-4*2*4=81-32=49` 

`sqrtDelta=7` 

`t_1=(9-7)/(2*2)=2/4=1/2>=0`  

`t_2=(9+7)/(2*2)=16/4=4>=0` 

Oba otrzymane rozwiązania są nieujemne. Wracamy więc do podstawienia.

`x^2=1/2\ \ \ =>\ \ \ x=sqrt(1/2)=sqrt1/sqrt2=1/sqrt2=sqrt2/(sqrt2*sqrt2)=sqrt2/2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-sqrt2/2`  

`x^2=4\ \ \ =>\ \ \ x=2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-2` 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)(x-sqrt2/2)(x+sqrt2/2)(x-2)(x+2)=0` 

`(x-2)^2(x-sqrt2/2)(x+sqrt2/2)(x+2)=0` 

`#underbrace(x=2)_("krotność 2")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=sqrt2/2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-sqrt2/2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 1")` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`d)` 

`x^6-3x^4+3x^2-1=0` 

`x^6-1-3x^4+3x^2=0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów; dla przypomnienia podajemy ten wzór:

`a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)` 

Wracamy do równania: 

`(x^2)^3-1^3-3x^2(x^2-1)=0` 

`(x^2-1)(x^4+x^2+1)-3x^2(x^2-1)=0`  

`(x^2-1)(x^4+x^2+1-3x^2)=0` 

`(x^2-1^2)(x^4-2x^2+1)=0` 

Pierwszy czynnik rozpisujemy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x-1)(x+1)(x^4-2x^2+1)=0` 

Zauważamy, że drugi czynnik można rozpisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

`(x-1)(x+1)(x^2-1)^2=0` 

`(x-1)(x+1)((x-1)(x+1))^2=0` 

`(x-1)(x+1)(x-1)^2(x+1)^2=0` 

`(x-1)^3(x+1)^3=0` 

`#underbrace(x=1)_("krotność 3")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-1)_("krotność 3")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`e)`

Przekształcimy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych, a po drugiej zero. 

`x^3(x^2-x-3)=2x-5x^2` 

`x^5-x^4-3x^3=2x-5x^2\ \ \ \ \ |-2x+5x^2` 

`x^5-x^4-3x^3+5x^2-2x=0` 

`x#underbrace((x^4-x^3-3x^2+5x-2))_(w(x))=0` 

Wyraz wolny wielomianu w to -2. Dzielniki -2 to: -2, -1, 1, 2 Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(1)=1^4-1^3-3*1^2+5*1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1-1-3+5-2=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równość w następującej postaci:

`x(x-1)(x^3-3x+2)=0` 

`x(x-1)(x^3-x-2x+2)=0` 

`x(x-1)[x(x^2-1)-2(x-1)]=0`  

`x(x-1)[x(x-1)(x+1)-2(x-1)]=0`  

`x(x-1)[(x-1)(x(x+1)-2)]=0` 

`x(x-1)(x-1)(x^2+x-2)=0` 

`x(x-1)^2#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ x\ -\ 2))_(Delta=1^2-4*1*(-2)=))_(=1+8=9))_(sqrtDelta=3))_(x_1=(-1-3)/2=-2))_(x_2=(-1+3)/2=1)=0` 

`x(x-1)^2(x+2)(x-1)=0`  

`x(x-1)^3(x+2)=0`   

`#underbrace(x=0)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=1)_("krotność 3")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 1")`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`f)` 

`x^2(x^2+2x-6)=8(x-1)` 

`x^4+2x^3-6x^2=8x-8\ \ \ \ \ \ \ \ |-8x+8` 

`#underbrace(x^4+2x^3-6x^2-8x+8)_(w(x))=0` 

Wyraz wolny wielomianu w to 8. Dzielniki 8 to: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

`w(2)=2^4+2*2^3-6*2^2-8*2+8=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16+2*8-6*4-16+8=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16+16-24-16+8=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)#underbrace((x^3+4x^2+2x-4))_(u(x))=0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu u wśród dzielników -4.

`u(-2)=(-2)^3+4*(-2)^2+2*(-2)-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-8+4*4-4-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-8+16-4-4=0` 

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)(x+2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 2))_(Delta=2^2-4*1*(-2)=))_(=4+8=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-2-2sqrt3)/2=-1-sqrt3))_(x_2=-1+sqrt3)=0` 

`(x-2)(x+2)(x+1+sqrt3)(x+1-sqrt3)=0` 

`#underbrace(x=2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-2)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-1-sqrt3)_("krotność 1")\ \ \ "lub"\ \ \ #underbrace(x=-1+sqrt3)_("krotność 1")`