Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Rozwiąż równanie 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

  

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 3. Jedyne dzielniki 3 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

 

 

Wracamy do równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -4. Jedyne dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

 

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

Wracamy do równania:

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Jedyne dzielniki -4 to -2, -1, 1, 2.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

 

 

 

 

 

 

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

    

 

Wracamy do równania:

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -3. Jedyne dzielniki -4 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

 

 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:
 

Pośród pozostałych dzielników szukamy pierwiastków wielomianu u (bierzemy te same dzielniki, bo jeśli coś byłoby pieriwastkiem wielomianu u, to byłoby także pierwiastkiem wielomianu u, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

 

 

 

 

 

Liczba -3 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+3). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:
 

Wracamy do równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

 

Wyciągamy (x-1) przed nawias:

 

 

 

Szukamy pierwiastków wielomianu u wśród dzielników -6, czyli wśród liczb -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.

 

 

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

Wracamy do równania:

 

 

 

 

 

Mając równość:

można było postąpić w inny sposób. Wyciągmy (x-1) przed nawias wyłącznie z dwóch pierwszych wyrazów:

 

 

 

Wyciągamy (x²-1) przed nawias:

 

 

Dalej rozwiązanie jest takie samo. 

  

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`f)`  

`x^4+x^2=8-6x\ \ \ |+6x-8` 

`#underbrace(x^4+x^2+6x-8)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -8. Jedyne dzielniki -8 to -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+1^2+6*1-8=1+1+6-8=0` 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)#underbrace((x^3+x^2+2x+8))_(u(x))` 

Pośród pozostałych dzielników szukamy pierwiastków wielomianu u (bierzemy te same dzielniki, bo jeśli coś byłoby pieriwastkiem wielomianu u, to byłoby także pierwiastkiem wielomianu u, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(-2)=(-2)^3+(-2)^2+2*(-2)+8=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-8+4-4+8=0` 

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x+2)(x^2-x+4)` 

 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+2)#underbrace((x^2-x+4))_(Delta=(-1)^2-4*1*4<0)=0` 

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2))`