Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Wyznacz wartości współczynników 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii

 

 

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, -a oraz 3a, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

 

Wkonajmy mnożenie:

 

 

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

 

 

 

 

 

Mamy więc dwie możliwości:

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Jeśli pierwiastki wielomianu są postaci a, -a i 3a, to w(a), w(-a) oraz w(3a) są równe 0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

 

 

Przepiszmy pierwsze i trzecie równanie, a w miejsce drugiego równania podstawmy sumę pierwszego i drugiego równania:

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (2pa^2+2q=0\ \ \ |:2), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}` 

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (pa^2+q=0\ \ \ |-q), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}` 

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (pa^2=-q), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}` 

`{(a^3-q-4a+q=0), (pa^2=-q), (27a^3+9*(-q)-12a+q=0):}` 

`{(a^3-4a=0), (pa^2=-q), (27a^3-12a-8q=0):}` 

Zajmijmy się pierwszym równaniem:

`a^3-4a=0` 

`a(a^2-4)=0` 

`a(a-2)(a+2)=0` 

`a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a-2=0\ \ \ "lub"\ \ \ a+2=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ a=-2` 

Mamy więc trzy możliwości:

`{(a=0), (p*0^2=-q), (27*0^3-12*0-8q=0):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (p*2^2=-q), (27*2^3-12*2-8q=0):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p*(-2)^2=-q), (27*(-2)^3-12*(-2)-8q=0):}` 

`{(a=0), (0=-q\ \ \ |*(-1)), (-8q=0\ \ \ |:(-8)):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (4p=-q), (27*8-24-8q=0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (4p=-q), (27*(-8)+24-8q=0):} `  

`{(a=0), (q=0), (q=0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4q), (192=8q\ \ \ |:8):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4q), (-192=8q\ \ \ |:8):}`   

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4q), (q=24):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4q), (q=-24):}`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4*24=-6), (q=24):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4*(-24)=6), (q=-24):}`      

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (a=0, q=0) - nie otrzymaliśmy w nim parametru p.

Mamy dwie możliwości:

`1)\ p=-6,\ \ \ q=24` 

`\ \ \ "pierwiastki:"` 

`\ \ \ a=2` 

`\ \ \ -a=-2` 

`\ \ \ 3a=3*2=6` 

 

 

`2)\ p=6,\ \ \ q=-24` 

`\ \ \ "pierwiastki:"` 

`\ \ \ a=-2` 

`\ \ \ -a=2` 

`\ \ \ 3a=3*(-2)=-6` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`   

 

 

 

`b)` 

`ul(ul("pierwszy sposób"))` 

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, 2a oraz a+1, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-a-1)` 

 

Wkonajmy mnożenie:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-a-1)=(x^2-2ax-ax+2a^2)(x-a-1)=(x^2-3ax+2a^2)(x-a-1)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-ax^2-x^2-3ax^2+3a^2x+3ax+2a^2x-2a^3-2a^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-a-1-3a)x^2+(3a^2+3a+2a^2)x+(-2a^3-2a^2)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-4a-1)x^2+(5a^2+3a)x+(-2a^3-2a^2)` 

 

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

`w(x)=x^3+7x^2+px+q` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1` 

`x^2:\ \ \ -4a-1=7\ \ \ =>\ \ \ -4a=8\ \ \ =>\ \ \ a=-2` 

`x^1:\ \ \ 5a^2+3a=p\ \ \ =>\ \ \ p=5*(-2)^2+3*(-2)=5*4-6=20-6=14` 

`x^0:\ \ \ -2a^3-2a^2=q\ \ \ =>\ \ \ q=-2*(-2)^3-2*(-2)^2=-2*(-8)-2*4=16-8=8` 

 

Mamy więc następujące wartości parametrów:

`{(a=-2), (p=14), (q=8):}` 

`"pierwiastki:"` 

`a=-2` 

`2a=2*(-2)=-4` 

`a+1=-2+1=-1`   

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`ul(ul("drugi sposób"))` 

`w(a)=0`    

`a^3+7a^2+pa+q=0` 

 

 

`w(2a)=0` 

`(2a)^3+7*(2a)^2+p*(2a)+q=0` 

`8a^3+28a^2+2pa+q=0` 

 

 

`w(a+1)=0` 

`(a+1)^3+7(a+1)^2+p(a+1)+q=0` 

 

 

Mamy do rozwiązania układ równań:

`{(a^3+7a^2+pa+q=0), (8a^3+28a^2+2pa+q=0), ((a+1)^3+7(a+1)^2+p(a+1)+q=0):}` 

 

Zauważmy, że powyższy układ równań będzie ciężko rozwiązać, dlatego nie kontynuujemy rozwiązania tym sposobem - pierwszy sposób jest dużo wygodniejszy.