Matematyka
 
Brak innych książek z tego przedmiotu
 
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania: 2014
Oblicz resztę z dzielenia 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii

 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) jest równa a.

Obliczmy więc, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+5:

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

 

   

 

Wiemy, że:

   

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu równań:

 

 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać:

  

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+1:

 

 

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

 

  

 

Wiemy, że:

 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość b do pierwszego równania układu rownań:

 

 

 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

  

 

 

 

 

 

 

Zapiszmy wielomian u(x) jako iloczyn dwumianów. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

 

 

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-2:

 

 

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

 

  

 

Wiemy, że:

 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

 

 

 

Wiemy, że:

 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

 

 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu równań:

 

 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

 

 

 

 

 

 

Zapiszmy wielomian u(x) jako iloczyn dwumianów. 

`u(x)=x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-2:

`w(2)=(-2/3*2^2+2+2/3)^5=(-2/3*4+2+2/3)^5=(-8/3+2+2/3)^5=(-6/3+2)^5=(-2+2)^5=0^5=0` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=(-2/3*1^2+1+2/3)^5=(-2/3+1+2/3)^5=1^5=1` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+1:

`w(-1)=(-2/3*(-1)^2-1+2/3)=(-2/3-1+2/3)^5=(-1)^5=-1` 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia trzeciego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia trzeciego jest stopnia co najwyżej dwa, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax^2+bx+c)_("reszta")` 

`w(x)=p(x)*(x-2)*(x-1)*(x+1)+ax^2+bx+c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)` 

 

Wiemy, że:

`w(2)=0` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(2)*#underbrace((2-2))_0*(2-1)*(2+1)+a*2^2+b*2+c=0` 

`4a+2b+c=0` 

 

 

 

Wiemy, że:

`w(1)=1` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*(1-2)*#underbrace((1-1))_0*(1+1)+a*1^2+b*1+c=1` 

`a+b+c=1` 

 

 

 

Wiemy, że:

`w(-1)=-1` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-1)*(-1-2)*(-1-1)*#underbrace((-1+1))_0+a*(-1)^2+b*(-1)+c=-1` 

`a-b+c=-1` 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(4a+2b+c=0), (a+b+c=1), (a-b+c=-1):}` 

Z pierwszego równania wyznaczamy c i podstawiamy do pozostałych równań:

`{(c=-4a-2b), (a+b-4a-2b=1), (a-b-4a-2b=-1):}` 

`{(c=-4a-2b), (-3a-b=1\ \ \ |+b-1), (-3a-3b=-1):}` 

`{(c=-4a-2b), (b=-3a-1), (-3a-3b=-1):}` 

Podstawiamy b wyliczone w drugim równaniu do pozostałych równań:

`{(c=-4a-2(-3a-1)), (b=-3a-1), (-3a-3(-3a-1)=-1):}` 

`{(c=-4a+6a+2) , (b=-3a-1), (-3a+9a+3=-1\ \ \ |-3):}`  

`{(c=2a+2), (b=-3a-1), (6a=-4\ \ \ |:6):}`   

`{(c=2a+2), (b=-3a-1), (a=-4/6=-2/3):}` 

`{(c=2*(-2/3)+2=-4/3+2=-1 1/3+2=2/3) , (b=-3*(-2/3)-1=2-1=1), (a=-2/3):}` 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(-2/3x^2+x+2/3))`